Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Konvergencija i granična vrednost rekurentno zadatog niza

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

Konvergencija i granična vrednost rekurentno zadatog niza

Postod Igor » Petak, 10. Avgust 2018, 17:14

Zadatak: Niz [inlmath](x_n)[/inlmath] definisan je rekurentno:
[dispmath]x_{n+1}=\left(2+\frac{2}{n}\right)x_n-1,\;n\in\mathbb{N}.[/dispmath] [inlmath]a)[/inlmath] Dokazati da je [inlmath]x_n=2^{n-1}nx_1-2^nnf_n\left(\frac{1}{2}\right),\;n\ge2[/inlmath], gde je [inlmath]f_n(x)=\sum\limits_{k=2}^n\frac{x^k}{k}[/inlmath].
[inlmath]b)[/inlmath] Koristeći Njutn-Lajbnicovu formulu za funkciju [inlmath]f_n[/inlmath] odrediti sve realne brojeve [inlmath]x_1[/inlmath] za koje je niz konvergentan i odrediti odgovarajuću graničnu vrednost.

Deo pod [inlmath]a)[/inlmath] sam dokazao uz pomoć Principa matematičke indukcije, i mislim da je dokaz korektan. Deo pod [inlmath]b)[/inlmath] nisam uradio, a i nije mi jasan ovaj deo rečenice u kojem se pominje Njutn-Lajbnicova formula :kojik:
Korisnikov avatar
Igor  OFFLINE
Hiljaditi član foruma
 
Postovi: 86
Lokacija: Aranđelovac
Zahvalio se: 28 puta
Pohvaljen: 69 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Konvergencija i granična vrednost rekurentno zadatog niza

Postod Onomatopeja » Petak, 10. Avgust 2018, 18:23

Pomocu Njutn-Lajbnicove formule se moze odrediti funkcija [inlmath]f_n[/inlmath]. Naime, vazi [inlmath]\displaystyle f_n(x)=f_n(a)+\int_a^x f'_n(t)dt[/inlmath], te odatle mozes naci funkciju [inlmath]f_n[/inlmath] (zgodno je uzeti [inlmath]a=0[/inlmath]), jer se [inlmath]f_n'[/inlmath] moze prepoznati kao zbir konacnog geometrijskog niza, te se onda mozemo naci i dati integral, a onda i sama funkcija [inlmath]f_n[/inlmath].
 
Postovi: 588
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 555 puta

Re: Konvergencija i granična vrednost rekurentno zadatog niza

Postod Igor » Petak, 10. Avgust 2018, 19:24

Onomatopeja je napisao:Naime, vazi [inlmath]\displaystyle f_n(x)=f_n(a)+\int_a^x f'_n(t)dt[/inlmath]

Ova jednakost mi je jasna, ali i dalje ne uspevam da odredim funkciju...
Korisnikov avatar
Igor  OFFLINE
Hiljaditi član foruma
 
Postovi: 86
Lokacija: Aranđelovac
Zahvalio se: 28 puta
Pohvaljen: 69 puta

  • +1

Re: Konvergencija i granična vrednost rekurentno zadatog niza

Postod Onomatopeja » Subota, 11. Avgust 2018, 09:28

Procitaj jos jednom sta sam napisao, dato ti je uputstvo. Odredi se prvo [inlmath]f_n'[/inlmath], a onda odatle preko Njutn-Lajbnicove formule i sama funkcija [inlmath]f_n[/inlmath].
 
Postovi: 588
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 555 puta

Re: Konvergencija i granična vrednost rekurentno zadatog niza

Postod Igor » Sreda, 15. Avgust 2018, 14:41

[dispmath]f_n'(x) = \sum\limits_{k=2}^n\frac{k\cdot x^{k-1}}{k} = \sum\limits_{k=2}^n x^{k-1}[/dispmath] Sada, kako je [inlmath]f_n(x)=f_n(a)+\int_a^x f'_n(t)dt[/inlmath], uzmemo [inlmath]a = 0[/inlmath], kao što reče Onomatopeja. [inlmath]f_n(0) = 0[/inlmath] pa imamo [dispmath]f_n(x) = \int_0^x f'_n(t)dt = \int_0^x \sum\limits_{k=2}^n t^{k-1} dt = \sum\limits_{k=2}^n \int_0^x t^{k-1} dt = \sum\limits_{k=2}^n \frac{x^k}{k}[/dispmath] U izrazu za [inlmath]x_n[/inlmath] pojavljuje se [inlmath]f_n(\frac{1}{2})[/inlmath], pa nam treba [inlmath]f_n(\frac{1}{2}) = \sum\limits_{k=2}^n \frac{1}{k\cdot 2^k}[/inlmath]. E sada ne znam kako dalje da ispitam konvergenciju, ako sam tačno odredio [inlmath]f_n[/inlmath]?
Korisnikov avatar
Igor  OFFLINE
Hiljaditi član foruma
 
Postovi: 86
Lokacija: Aranđelovac
Zahvalio se: 28 puta
Pohvaljen: 69 puta

  • +1

Re: Konvergencija i granična vrednost rekurentno zadatog niza

Postod Onomatopeja » Sreda, 15. Avgust 2018, 15:00

Pa, odredio si tacno, jer si za [inlmath]f_n[/inlmath] dobio ono sto si vec i imao na pocetku, tj. samo si se zavrteo u krug. Umesto toga, trebalo je [inlmath]f_n'[/inlmath] dalje da racunas, jer se ta konacna suma moze izracunati preko formule za zbir konacnog geometrijskog zbira, pa onda tek da primenjujes Njutn-Lajbnicovu formulu.
 
Postovi: 588
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 555 puta

Re: Konvergencija i granična vrednost rekurentno zadatog niza

Postod Igor » Sreda, 15. Avgust 2018, 15:22

:facepalm: Joj da, hvala. Treba da odredim integral: [dispmath]\int_0^x \frac{1-t^n}{1-t} dt = \int_0^x \frac{1}{1-t} dt - \int_0^x \frac{t^n}{1-t} dt.[/dispmath]
Korisnikov avatar
Igor  OFFLINE
Hiljaditi član foruma
 
Postovi: 86
Lokacija: Aranđelovac
Zahvalio se: 28 puta
Pohvaljen: 69 puta


Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 5 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 13. Decembar 2018, 14:38 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs