Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA INTEGRALI

Niz integrala i granicna vrednost

[inlmath]\int xe^x\mathrm dx[/inlmath]

Niz integrala i granicna vrednost

Postod Igor » Petak, 24. Avgust 2018, 10:27

Zadatak: Dat je niz integrala [inlmath]I_n=\int_1^n \frac{1}{x^7\cdot \sqrt{1+x^4}}\mathrm dx[/inlmath]. Izracunati [inlmath]I_n[/inlmath], a zatim, u zavisnosti od realnog parametra [inlmath]p[/inlmath] odrediti granicnu vrednost niza ciji je opsti clan zadat sa: [inlmath]a_n=\frac{I_n}{n^{p+\frac{3}{2}}} (\sqrt1 + \sqrt2 +\cdots + \sqrt{n})[/inlmath].

Izracunao sam da je: [dispmath]\enclose{box}{I_n = \frac{\sqrt{1+\frac{1}{n^4}}}{2} - \frac{\sqrt{(1+\frac{1}{n^4})^3}}{6} - \frac{\sqrt2}{6}}.[/dispmath] E sada treba naci: [dispmath]\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\left(\frac{\sqrt{1+\frac{1}{n^4}}}{2} - \frac{\sqrt{\left(1+\frac{1}{n^4}\right)^3}}{6} - \frac{\sqrt2}{6}\right)\cdot (\sqrt1 + \sqrt2 +\cdots + \sqrt{n})}{n^{p+\frac{3}{2}}}.[/dispmath] Pokusao sam da primenim Stolcovu teoremu, ali ne uspevam do kraja. Mislim da je to dobar postupak, znacilo bi mi ako bi neko uradio do kraja.
Korisnikov avatar
Igor  OFFLINE
Hiljaditi član foruma
 
Postovi: 86
Lokacija: Aranđelovac
Zahvalio se: 28 puta
Pohvaljen: 69 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Niz integrala i granicna vrednost

Postod Onomatopeja » Subota, 25. Avgust 2018, 17:22

Ako [inlmath]\displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n[/inlmath] postoji, konacan je i nije nula, onda vazi [inlmath]\displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n c_n = \lim_{n\to\infty} b_n \lim_{n\to\infty} c_n[/inlmath]. U tvom slucaju to vazi za niz [inlmath]b_n=I_n[/inlmath]. Sad bi trebalo da je lakse.

Dalje bi trebalo da za odredjene vrednosti parametra prolazi Stolcova teorema, a takodje moze da se radi i preko integralnih ocena.
 
Postovi: 588
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 555 puta

Re: Niz integrala i granicna vrednost

Postod Igor » Nedelja, 26. Avgust 2018, 14:26

Hvala na pomoci :)
Dobijam ovako: [dispmath]\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\left(\frac{\sqrt{1+\frac{1}{n^4}}}{2} - \frac{\sqrt{\left(1+\frac{1}{n^4}\right)^3}}{6} - \frac{\sqrt2}{6}\right)\cdot (\sqrt1 + \sqrt2 +\cdots + \sqrt{n})}{n^{p+\frac{3}{2}}}=\lim\limits_{n\to\infty} \left(\frac{\sqrt{1+\frac{1}{n^4}}}{2} - \frac{\sqrt{\left(1+\frac{1}{n^4}\right)^3}}{6} - \frac{\sqrt2}{6}\right)\cdot \lim\limits_{n\to\infty} \frac{\sqrt1 + \sqrt2 +\cdots + \sqrt{n}}{n^{p+\frac{3}{2}}}[/dispmath] Odatle imamo (za drugi limes upotrebimo Stolcovu teoremu): [dispmath]\frac{2-\sqrt2}{6}\cdot \lim\limits_{n\to\infty} \frac{\sqrt1 + \sqrt2 +\cdots + \sqrt{n} - \sqrt1 - \sqrt2 - \cdots - \sqrt{n-1}}{n^{p+\frac{3}{2}} - (n-1)^{p+\frac{3}{2}}}=\frac{2-\sqrt2}{6}\cdot \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n^{p+1}\cdot \left(1-\left(1-\frac{1}{n}\right)^{p+\frac{3}{2}}\right)}[/dispmath] Odavde zakljucujem da je ovaj limes, za [inlmath]p<-1[/inlmath], jednak [inlmath]+\infty[/inlmath]. Da bih ispitao za ostale vrednosti parametra, zapisao sam limes u obliku: [dispmath]\lim\limits_{n\to\infty} \frac{n^{-p-1}}{\left(1-\left(1-\frac{1}{n}\right)^{p+\frac{3}{2}}\right)}[/dispmath] A zatim sam primenio Lopitalovo pravilo, jer i imenilac i brojilac razlomka teze [inlmath]0[/inlmath]: [dispmath]\lim\limits_{n\to\infty} \frac{(-p-1)n^{-p-2}}{-(p+\frac{3}{2})\left(1-\frac{1}{n}\right)^{p+\frac{1}{2}}\frac{1}{n^2}}=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{(p+1)n^{-p}}{(p+\frac{3}{2})\left(1-\frac{1}{n}\right)^{p+\frac{1}{2}}}[/dispmath] Odavde sam zakljucio da je za [inlmath]0>p>-1[/inlmath] limes [inlmath]+\infty[/inlmath], a za [inlmath]p>0[/inlmath] limes je [inlmath]0[/inlmath].
Da li je ovo tacno?
Korisnikov avatar
Igor  OFFLINE
Hiljaditi član foruma
 
Postovi: 86
Lokacija: Aranđelovac
Zahvalio se: 28 puta
Pohvaljen: 69 puta

Re: Niz integrala i granicna vrednost

Postod Onomatopeja » Ponedeljak, 27. Avgust 2018, 09:10

Samo sam preleteo, vise idejno, nisam racunski. Primeti da ne mozes za sve vrednosti parametra [inlmath]p[/inlmath] da koristis Stolcovu teoremu, jer je potrebno da je niz u imeniocu strogo rastuci i da tezi beskonacnosti. To ovde imamo za [inlmath]p+3/2>0.[/inlmath] Sa druge strane, za [inlmath]p+3/2\leq 0[/inlmath] lako se pokazuje da niz (mislim na razlomak) tezi ka plus beskonacno (za [inlmath]p=-3/2[/inlmath] to je oblik jedan puta beskonacno, dok za [inlmath]p<-3/2[/inlmath] imamo beskonacno puta beskonacno).

Sad ovo ponovo uklopi u celu tvoju pricu.
 
Postovi: 588
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 555 puta


Povratak na INTEGRALI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 18. Novembar 2018, 00:12 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs