Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Dokazati zapis matrice

Matrice, determinante...

Dokazati zapis matrice

Postod Prepotentna Mrkva » Subota, 29. Septembar 2018, 15:51

Neka su [inlmath]\lambda\tiny 1[/inlmath] i [inlmath]\lambda\tiny 2[/inlmath] ([inlmath]\lambda\tiny 1
\small \ne \lambda\tiny 2[/inlmath]) sopstvene vrijednosti kvadratne matrice A drugog reda. Dokazati da se matrica A moze zapisati u obliku [dispmath]A = \lambda\tiny 1 \small \cdot R \tiny 1 \small + \lambda \tiny 2 \small \cdot R \tiny 2[/dispmath], gdje matrice [inlmath]\small R \tiny 1 , \small R \tiny 2[/inlmath] zadovoljavaju uslove [dispmath]\small R\tiny 1\small ^2 = \small R\tiny 1[/dispmath] [dispmath]\small R\tiny 2\small ^2 = \small R\tiny 2[/dispmath] [dispmath]\small R\tiny 1 \small \cdot R\tiny 2 \small = 0[/dispmath] [dispmath]\small R \tiny 1 \small + R\tiny 2 \small = I[/dispmath] . Moze mi neko pomoci sa pocetnom idejom rjesavanja zadatka. Znamo da se na osnovu izracunatih sopstvenih vrijednosti matrica [inlmath]A^n[/inlmath] moze zapisati u obliku [inlmath]A^n = ( \small C\tiny 1 \small + C \tiny 2 \small ) \cdot \lambda ^n[/inlmath] za [inlmath]\small \lambda \tiny 1 \small = \lambda \tiny 2[/inlmath] i [inlmath]A^n =\small C \tiny 1 \small \cdot \lambda^n \tiny 1 \small + C\tiny2 \small \cdot \lambda^n \tiny 2[/inlmath] za [inlmath]\small \lambda \tiny 1 \small \ne \lambda \tiny 2[/inlmath].
Ako krenem sa formulom [inlmath]A^n =\small C \tiny 1 \small \cdot \lambda^n \tiny 1 \small + C\tiny2 \small \cdot \lambda^n \tiny 2[/inlmath] za [inlmath]\small \lambda \tiny 1 \small \ne \lambda \tiny 2[/inlmath] , jer mi u zadatku kaze da su razlicite sopstvene vrijednosti, rjesavam na sljedeci nacin.
Za n=1, [dispmath]\small A = C \tiny 1 \small \cdot \lambda \tiny 1 \small + C\tiny2 \small \cdot \lambda \tiny 2[/dispmath] ,iz cega slijedi [dispmath]\small C \tiny 1 \small = \frac{A - C\tiny2 \small \cdot \lambda \tiny2}{\lambda \tiny1} \small \wedge \lambda \tiny 1 \small \ne 0[/dispmath]. Nadalje, za n=2, i ubacivanjem [inlmath]\small C \tiny1[/inlmath] u ovu jednacinu, dobijamo [dispmath]\small A ^2 = C \tiny 1 \small \cdot \lambda^2 \tiny 1 \small + C\tiny2 \small \cdot \lambda^2 \tiny 2 \small \Rightarrow \small C \tiny 2 \small =\frac{A^2 -A}{\lambda^2 \tiny 2 \small - \lambda \tiny 2}[/dispmath] Vracanjem [inlmath]\small C \tiny 2[/inlmath] u izraz za [inlmath]\small C \tiny1[/inlmath] i izracunavanjem, dobijam da je [inlmath]\small C \tiny1\small = 0[/inlmath]. Nisam iskoristila nijednu osobinu matrica koja mi je data gore. Mozda imam pogresan pristup zadatku. Ako neko ima neku drugu ideju, za rjeavanje zadatka, bila bih zahvalna.
 
Postovi: 13
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Dokazati zapis matrice

Postod ubavic » Subota, 29. Septembar 2018, 20:15

Ugh.. Ne znam šta si ovde radila, ali verovatno nije dobro, pošto [inlmath]C_1[/inlmath] ne mora biti nula matrica. Najbolje je da iskoristiš osnovnu teoriju o sopstvenim vrednostima.

Ako su sopstvene vrednosti različite onda [inlmath]A[/inlmath] se može predstaviti kao [inlmath]PDP^{-1}[/inlmath], gde je [inlmath]D[/inlmath] dijagonalna matrica sa sopstvenim vrednostima [inlmath]\lambda_1[/inlmath] i [inlmath]\lambda_2[/inlmath] na dijagonali. Sada uzmi matrice:
[dispmath]D_1 = \left[\begin{matrix}1 && 0 \\ 0 && 0\end{matrix}\right] \qquad\qquad D_2 = \left[\begin{matrix}0 && 0 \\ 0 && 1\end{matrix}\right][/dispmath]
Tada je
[dispmath]A = PDP^{-1} = P(\lambda_1 D_1+\lambda_2D_2)P^{-1}= \lambda_1PD_1P^{-1} + \lambda_2PD_2P^{-1}[/dispmath]
Ti proveri da li su [inlmath]PD_1P^{-1}[/inlmath] i [inlmath]PD_2P^{-1}[/inlmath] tražene matrice ([inlmath]R_1[/inlmath] i [inlmath]R_2[/inlmath]).

Pogledaj malo i ostale teme u potforumu Linearna algebra. U poslednje vreme je bilo dosta zadataka sa sopstvenim vrednostima, i svi zadaci su se rešavali na istu foru.
Korisnikov avatar
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 521
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 339 puta
Pohvaljen: 503 puta


Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 0 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 24. Maj 2019, 05:03 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs