Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA BROJEVA

Sa koliko nula se zavrsava 99^99+1

[inlmath]a^p\equiv a\pmod p,\;a\in\mathbb{Z},\;p\in\mathbb{P}[/inlmath]

Moderator: Corba248

Sa koliko nula se zavrsava 99^99+1

Postod Mile2003 » Petak, 04. Januar 2019, 01:30

Pozdrav, zadatak glasi: "Sa koliko nula se zavrsava broj [inlmath]99^{99}+1[/inlmath]".
Uputstvo kaze: "Dokazati da se poslednje dve cifre stepena [inlmath]9^n[/inlmath] periodicno ponavljaju (sa periodom [inlmath]10[/inlmath]) i odgovor je [inlmath]2[/inlmath] nule".
Ja sam pokusavao da nadjem poslednju cifru broja [inlmath]99^{99}[/inlmath] preko modula [inlmath]10[/inlmath] i to bi bila cifra [inlmath]9[/inlmath] medjutim meni treba predposlednja i jos ona cifra pre te da bih resio zadatak na ovaj nacin. Njihovo uputstvo mi i nije bas od pomoci jer za pocetak ne znam ni kako da ga dokazem, znao bih da idem pesaka
[dispmath]9^1,\\
9^2,\\
9^3,\\
\vdots[/dispmath] itd dok ne uocim pravilan niz mada verujem da postoji drugi nacin.
Poslednji put menjao Daniel dana Utorak, 08. Januar 2019, 19:29, izmenjena samo jedanput
Razlog: Korekcija Latexa
 
Postovi: 15
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Sa koliko nula se zavrsava 99^99+1

Postod Daniel » Utorak, 08. Januar 2019, 19:29

Meni baš i nema mnogo logike to objašnjenje (možda i previđam nešto).
Ja bih to radio na donekle sličan način (za koji ne tvrdim da je najjednostavniji mogući) – prvo bih krenuo od provere koja je poslednja cifra broja [inlmath]99^{99}[/inlmath], jer ako se utvrdi da nije devetka, tada bi odgovor bio očigledan – [inlmath]99^{99}+1[/inlmath] se ne bi završavao nijednom nulom.
Ali, pošto se [inlmath]99^{99}[/inlmath] završava devetkom (parni stepeni broja čija je poslednja cifra [inlmath]9[/inlmath] završavaju se jedinicom a neparni devetkom), sledi da se [inlmath]99^{99}+1[/inlmath] završava bar jednom nulom, tako da moramo onda nastaviti s proverama, svaki put posmatrajući po jednu cifru više na poslednjim mestima – i tako dok se ne pojavi neka cifra koja nije devetka.
Dakle, sledeća faza bi bila provera poslednje dve cifre broja [inlmath]99^{99}[/inlmath], tako što uočavamo periodičnost u brojevima [inlmath]99^n[/inlmath] (nije veliki posao svaki prethodni broj pomnožiti sa [inlmath]99[/inlmath] ako se [inlmath]99[/inlmath] napiše kao [inlmath](100-1)[/inlmath] pa primeni zakon distribucije – tim pre što ne posmatramo ceo rezultat množenja već samo poslednje dve cifre). Vrlo brzo se uočava da je periodičnost [inlmath]2[/inlmath] (parni stepeni broja [inlmath]99[/inlmath] završavaju se sa [inlmath]01[/inlmath], a neparni sa [inlmath]99[/inlmath]). Znači, [inlmath]99^{99}+1[/inlmath] se završava s bar dve nule. Moramo ispitivati dalje.
Sledeća faza je provera poslednje tri cifre broja [inlmath]99^{99}[/inlmath], sličnim principom kao malopre. Dobije se da je periodičnost [inlmath]10[/inlmath], a da će poslednje tri cifre broja [inlmath]99^{99}[/inlmath] biti [inlmath]899[/inlmath], što znači da se broj [inlmath]99^{99}+1[/inlmath] završava sa [inlmath]900[/inlmath], tj. s dve nule.
Ovaj način mi se lično baš i ne sviđa previše, jer da je rezultat recimo bio [inlmath]15[/inlmath] nula na poslednjem mestu, morali bismo [inlmath]15[/inlmath] puta da ponavljamo postupak. Osim toga, i periodičnost u svakoj od faza može biti bilo koji broj do [inlmath]100[/inlmath], što znači da bismo u toj fazi toliko puta morali i množiti. Ako neko izloži elegantniji način, biću zahvalan.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7457
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3888 puta
Pohvaljen: 3995 puta

Re: Sa koliko nula se zavrsava 99^99+1

Postod Corba248 » Sreda, 09. Januar 2019, 02:36

Ako napišemo [inlmath]99^{99}[/inlmath] kao [inlmath](100-1)^{99}=\sum_{k=0}^{99}{99\choose k}100^k\cdot(-1)^{99-k}[/inlmath] vidimo da [inlmath]99^{99}[/inlmath] daje ostatak [inlmath]-1[/inlmath] pri deljenju sa [inlmath]100[/inlmath], tj. [inlmath]99^{99}+1[/inlmath] daje ostatak [inlmath]0[/inlmath] odnosno broj [inlmath]99^{99}+1[/inlmath] je deljiv sa [inlmath]100[/inlmath]. Vidimo da će svaki član u ovom razvoju biti deljiv sa [inlmath]1000[/inlmath] osim prvog (za [inlmath]k=0[/inlmath]) i drugog (za [inlmath]k=1[/inlmath]). Dakle ostatak broja [inlmath]99^{99}[/inlmath] pri deljenju sa [inlmath]1000[/inlmath] je [inlmath]-1+900=899[/inlmath], odnosno ostatak broja [inlmath]99^{99}+1[/inlmath] pri deljenju sa [inlmath]1000[/inlmath] je [inlmath]900[/inlmath], pa se on zaista završava sa dve nule.
Moderator
 
Postovi: 294
Zahvalio se: 36 puta
Pohvaljen: 326 puta


Povratak na TEORIJA BROJEVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 0 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 24. Mart 2019, 09:40 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs