Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA POLINOMI

Faktorisanje polinoma nad poljem kompleksnih brojeva

[inlmath]P\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0[/inlmath]

Moderator: Corba248

Faktorisanje polinoma nad poljem kompleksnih brojeva

Postod dualstab » Petak, 04. Oktobar 2019, 19:01

Pozdrav, da li bi neko mogao da mi objasni kako bi se resio ovaj zadatak?

Neka je polinom [inlmath]P[/inlmath] nad poljem kompleksnih brojeva definisan sa
[dispmath]P(x)=x^8+x^6+x^4+x^2+1[/dispmath] Faktorisati polinom [inlmath]P[/inlmath] nad poljem kompleksnih brojeva i nad poljem realnih brojeva.
 
Postovi: 1
Zahvalio se: 4 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Faktorisanje polinoma nad poljem kompleksnih brojeva

Postod Corba248 » Petak, 04. Oktobar 2019, 21:59

Očigledno je da je za svako [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath] ovaj polinom veći od nule, tako da on nad poljem realnih brojeva nije rastavljiv.
Što se tiče faktorizacije nad poljem kompleksnih brojeva, kako ovaj polinom ima samo realne koeficijente to on može imati samo konjugovano kompleksne korene. Ja bih ovde uveo smenu [inlmath]t=x^2[/inlmath]. Onda pomnožio jednačinu sa [inlmath]\frac{1}{x^2}[/inlmath] i uveo novu smenu [inlmath]u=t+\frac{1}{t}[/inlmath]. Trebalo bi da se dobije jednačina [inlmath]u^2+u-1=0[/inlmath].

P. S. Moguće je da sam negde pogrešio u računu, zaista ne vidim svrhu ovog zadatka, pošto se pretežno svodi na preobiman račun.
Moderator
 
Postovi: 307
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 341 puta

  • +1

Re: Faktorisanje polinoma nad poljem kompleksnih brojeva

Postod Daniel » Subota, 05. Oktobar 2019, 00:20

Ja bih ovde, nakon pomenute smene [inlmath]x^2=t[/inlmath], uočio da dobijeni izraz [inlmath]t^4+t^3+t^2+t+1[/inlmath] predstavlja faktor u razlaganju polinoma [inlmath]t^5-1[/inlmath], tj. može se napisati kao
[dispmath]\frac{t^5-1}{t-1}[/dispmath] ili, posle vraćanja smene,
[dispmath]\frac{x^{10}-1}{(x-1)(x+1)}[/dispmath] Pošto ni [inlmath]x=-1[/inlmath] ni [inlmath]x=1[/inlmath] nisu nule polinoma [inlmath]P(x)[/inlmath], to će nule polinoma [inlmath]P(x)[/inlmath] biti jednake onim nulama izraza [inlmath]x^{10}-1[/inlmath] koje nisu [inlmath]-1[/inlmath] ili [inlmath]1[/inlmath].
Prema tome, rešavanjem kompleksne jednačine [inlmath]x^{10}=e^{i2k\pi}[/inlmath], gde [inlmath]x\ne\pm1[/inlmath], dobijamo kompleksne nule polinoma [inlmath]P(x)[/inlmath].
Pošto smo našli kompleksne nule i nakon što [inlmath]P(x)[/inlmath] napišemo u faktorisanom obliku, grupisanjem i množenjem faktora s konjugovano-kompleksnim nulama dobijamo da se [inlmath]P(x)[/inlmath] ipak može faktorisati i nad poljem realnih brojeva (štaviše, svi polinomi trećeg ili višeg stepena mogu se faktorisati nad poljem realnih brojeva):
[dispmath]P(x)=\left(x^2-2\cos\frac{\pi}{5}\cdot x+1\right)\left(x^2+2\cos\frac{\pi}{5}\cdot x+1\right)\left(x^2-2\cos\frac{2\pi}{5}\cdot x+1\right)\left(x^2+2\cos\frac{2\pi}{5}\cdot x+1\right)[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7728
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4057 puta
Pohvaljen: 4120 puta

  • +2

Re: Faktorisanje polinoma nad poljem kompleksnih brojeva

Postod primus » Subota, 05. Oktobar 2019, 10:28

Faktorisanje polinoma [inlmath]P(x)[/inlmath] nad poljem realnih brojeva:
[dispmath]x^8+x^6+x^4+x^2+1=\\
x^8+2x^6-x^6+3x^4-2x^4+2x^2-x^2+1=\\
x^8+2x^6+3x^4+2x^2+1-\left(x^6+2x^4+x^2\right)=\\
x^8+2x^6+x^4+2x^4+2x^2+1-\left(x^6+2x^4+x^2\right)=\\
\left(x^4+x^2\right)^2+2\left(x^4+x^2\right)+1-\left(x^6+2x^4+x^2\right)=\\
\left(x^4+x^2+1\right)^2-\left(x^3+x\right)^2=\\
\left(x^4-x^3+x^2-x+1\right)\left(x^4+x^3+x^2+x+1\right)[/dispmath]
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 13
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 14 puta

  • +1

Re: Faktorisanje polinoma nad poljem kompleksnih brojeva

Postod Daniel » Subota, 05. Oktobar 2019, 15:41

Postupak jeste zanimljiv, ali njime se ne postiže potpuna faktorizacija polinoma, budući da se oba dobijena faktora mogu nad poljem realnih brojeva dalje rastaviti, svaki na proizvod dva polinoma drugog stepena.

Uopšteno, svaki polinom trećeg ili višeg stepena može se nad poljem realnih brojeva rastaviti na proizvod polinoma prvog i drugog stepena (pri čemu faktori drugog stepena nemaju realne nule).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7728
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4057 puta
Pohvaljen: 4120 puta


Povratak na POLINOMI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 4 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 14. Oktobar 2019, 20:09 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs