-
+1
Ovi korisnici su zahvalili autoru
Daniel za post:
dualstab
Reputacija: 4.55%
od Daniel » Petak, 04. Oktobar 2019, 23:20
Ja bih ovde, nakon pomenute smene [inlmath]x^2=t[/inlmath], uočio da dobijeni izraz [inlmath]t^4+t^3+t^2+t+1[/inlmath] predstavlja faktor u razlaganju polinoma [inlmath]t^5-1[/inlmath], tj. može se napisati kao
[dispmath]\frac{t^5-1}{t-1}[/dispmath] ili, posle vraćanja smene,
[dispmath]\frac{x^{10}-1}{(x-1)(x+1)}[/dispmath] Pošto ni [inlmath]x=-1[/inlmath] ni [inlmath]x=1[/inlmath] nisu nule polinoma [inlmath]P(x)[/inlmath], to će nule polinoma [inlmath]P(x)[/inlmath] biti jednake onim nulama izraza [inlmath]x^{10}-1[/inlmath] koje nisu [inlmath]-1[/inlmath] ili [inlmath]1[/inlmath].
Prema tome, rešavanjem kompleksne jednačine [inlmath]x^{10}=e^{i2k\pi}[/inlmath], gde [inlmath]x\ne\pm1[/inlmath], dobijamo kompleksne nule polinoma [inlmath]P(x)[/inlmath].
Pošto smo našli kompleksne nule i nakon što [inlmath]P(x)[/inlmath] napišemo u faktorisanom obliku, grupisanjem i množenjem faktora s konjugovano-kompleksnim nulama dobijamo da se [inlmath]P(x)[/inlmath] ipak može faktorisati i nad poljem realnih brojeva (štaviše, svi polinomi trećeg ili višeg stepena mogu se faktorisati nad poljem realnih brojeva):
[dispmath]P(x)=\left(x^2-2\cos\frac{\pi}{5}\cdot x+1\right)\left(x^2+2\cos\frac{\pi}{5}\cdot x+1\right)\left(x^2-2\cos\frac{2\pi}{5}\cdot x+1\right)\left(x^2+2\cos\frac{2\pi}{5}\cdot x+1\right)[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain