Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Broj smislenih proizvoda matrica

Matrice, determinante...

Moderator: Corba248

Broj smislenih proizvoda matrica

Postod DraganKese » Ponedeljak, 21. Oktobar 2019, 21:31

Pozdrav,
Potrebno je odrediti broj svih smislenih proizvoda [inlmath]n[/inlmath] matrica za sledece matrice:
[dispmath]A^{1\times3},B^{3\times3},C^{3\times1}[/dispmath] Pokusao sam da odredim ovo induktivnim metodom i uvideo sam da se proizvodi krecu kao Fibonacijev niz, ali ne umem to da dokazem.
 
Postovi: 14
Zahvalio se: 9 puta
Pohvaljen: 3 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Broj smislenih proizvoda matrica

Postod primus » Sreda, 23. Oktobar 2019, 08:22

Šta znači termin "smisleni proizvod matrica"? Kao što znamo, da bismo mogli da množimo dve matrice broj kolona prve matrice mora biti jednak broju vrsta druge matrice.
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 28
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 28 puta

Re: Broj smislenih proizvoda matrica

Postod DraganKese » Petak, 25. Oktobar 2019, 20:54

Upravo to i jeste smisleni proizvod matrica, to jest, potrebno je naci ukupan broj mogucih proizvoda matrica.
PS. Ispisivanjem svih kombinacija proizvoda, ukljucujuci i one gde se dve matrice mnoze same sa sobom, dobijam da postoji [inlmath]5[/inlmath] mogucih kombinacija, za tri matrice [inlmath]8[/inlmath] kombinacija, za cetiri [inlmath]13[/inlmath] kombinacija i tu primecujem da broj mogucih proizvoda sa porastom broja matrica predstavlja Fibonacijev niz, samo ne znam kako to i da dokazem.
 
Postovi: 14
Zahvalio se: 9 puta
Pohvaljen: 3 puta

  • +1

Re: Broj smislenih proizvoda matrica

Postod Daniel » Subota, 26. Oktobar 2019, 01:59

Moram reći da je ovo jedan od najinteresantnijih zadataka koje sam video u skorije vreme. Svideo mi se. :thumbup:

Možemo uočiti to, da u nekom „smislenom“ proizvodu, za sve matrice koje nisu na prvoj poziciji važi:
  • [inlmath]A[/inlmath] može doći jedino nakon [inlmath]C[/inlmath];
  • [inlmath]B[/inlmath] može doći nakon [inlmath]A[/inlmath] ili nakon [inlmath]B[/inlmath];
  • [inlmath]C[/inlmath] takođe može doći nakon [inlmath]A[/inlmath] ili nakon [inlmath]B[/inlmath].
Npr. za [inlmath]n=2[/inlmath], mogući smisleni proizvodi bi bili [inlmath]CA[/inlmath], [inlmath]AB[/inlmath], [inlmath]BB[/inlmath], [inlmath]AC[/inlmath] ili [inlmath]BC[/inlmath] (slučaj [inlmath]n=1[/inlmath] je trivijalan, za njega su mogućnosti, naravno – [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] ili [inlmath]C[/inlmath]).

Označimo sa [inlmath]P_{A_k}[/inlmath] broj smislenih proizvoda za [inlmath]n=k[/inlmath] kod kojih je [inlmath]A[/inlmath] na poslednjem mestu.
Analogno, označimo sa [inlmath]P_{B_k}[/inlmath] broj smislenih proizvoda za [inlmath]n=k[/inlmath] kod kojih je [inlmath]B[/inlmath] na poslednjem mestu, a sa [inlmath]P_{C_k}[/inlmath] broj smislenih proizvoda za [inlmath]n=k[/inlmath] kod kojih je [inlmath]C[/inlmath] na poslednjem mestu.
I, neka je [inlmath]P_k=P_{A_k}+P_{B_k}+P_{C_k}[/inlmath] ukupan broj mogućih proizvoda za [inlmath]n=k[/inlmath] (npr. [inlmath]P_1=3[/inlmath], [inlmath]P_2=5[/inlmath], [inlmath]P_3=8[/inlmath] itd.)

Posmatrajmo sada slučaj dodavanja jedne matrice u proizvod, tj. povećanje [inlmath]n[/inlmath] sa [inlmath]k[/inlmath] na [inlmath]k+1[/inlmath]:
  • Pošto [inlmath]A[/inlmath] može doći jedino nakon [inlmath]C[/inlmath], sledi da je [inlmath]P_{A_{k+1}}=P_{C_k}[/inlmath];
  • Pošto [inlmath]B[/inlmath] može doći nakon [inlmath]A[/inlmath] ili nakon [inlmath]B[/inlmath], sledi da je [inlmath]P_{B_{k+1}}=P_{A_k}+P_{B_k}[/inlmath];
  • Pošto [inlmath]C[/inlmath] može doći nakon [inlmath]A[/inlmath] ili nakon [inlmath]B[/inlmath], sledi da je [inlmath]P_{C_{k+1}}=P_{A_k}+P_{B_k}[/inlmath].
Isto tako je i:
  • [inlmath]P_{A_{k+2}}=P_{C_{k+1}}[/inlmath];
  • [inlmath]P_{B_{k+2}}=P_{A_{k+1}}+P_{B_{k+1}}[/inlmath];
  • [inlmath]P_{C_{k+2}}=P_{A_{k+1}}+P_{B_{k+1}}[/inlmath].
Odatle sledi:
[dispmath]\begin{align}
P_{k+2}&=P_{A_{k+2}}+P_{B_{k+2}}+P_{C_{k+2}}\\
&=\underbrace{P_{C_{k+1}}+P_{A_{k+1}}+P_{B_{k+1}}}_{P_{k+1}}+P_{A_{k+1}}+P_{B_{k+1}}\\
&=P_{k+1}+\underbrace{P_{C_k}+P_{A_k}+P_{B_k}}_{P_k}\\
&=P_{k+1}+P_k
\end{align}[/dispmath] čime je pokazano da ovo jeste Fibonačijev niz.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7772
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4140 puta

Re: Broj smislenih proizvoda matrica

Postod DraganKese » Subota, 26. Oktobar 2019, 17:04

Hvala puno na tako detaljnom odgovoru, drago mi je da vam se svideo zadatak.
 
Postovi: 14
Zahvalio se: 9 puta
Pohvaljen: 3 puta


Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 4 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 07. Decembar 2019, 11:59 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs