Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA OSTALE OBLASTI ANALIZE

Supremum (infimum) zatvorenog ograničenog skupa

Sve što spada u matematićku analizu a ne spada u prethodno nabrojane rubrike

Supremum (infimum) zatvorenog ograničenog skupa

Postod sekigan » Petak, 08. Novembar 2019, 15:19

Neka je [inlmath]A\subset\mathbb{R}[/inlmath] ograničen i zatvoren skup. Dokazati da je [inlmath]\sup A\in A[/inlmath] i [inlmath]\inf A\in A[/inlmath]. Podeliću pristup koji sam koristio za [inlmath]\sup A[/inlmath], slično je i za [inlmath]\inf A[/inlmath]. Postojanje supremuma i infimuma sledi iz aksiome supremuma (infimuma). Pristupio sam ovom zadatku tako što sam uzeo dva slučaja. [inlmath]\sup A[/inlmath] može biti ili tačka nagomilavanja skupa [inlmath]A[/inlmath] ili izolovana tačka. Pretpostavimo da je tačka nagomilavanja, po definiciji, ukoliko je skup [inlmath]A[/inlmath] zatvoren, moraju mu pripadati i sve njegove tačke nagomilavanja. Tako smo dokazali da [inlmath]\sup A\;(\inf A)\in A[/inlmath]. Deo koji me buni je dokazivanje kada je supremum izolovana tačka. Jasno mi je postoji [inlmath]\varepsilon>0[/inlmath] za koju [inlmath]\varepsilon[/inlmath]-okolina supremuma sadrži konačan broj tačaka iz skupa [inlmath]A[/inlmath]. Ali nisam siguran kako da nastavim.
Korisnikov avatar
sekigan  OFFLINE
 
Postovi: 11
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Supremum (infimum) zatvorenog ograničenog skupa

Postod sekigan » Petak, 08. Novembar 2019, 15:47

Sada sam pročitao u skripti da je, po definiciji, tačka izolovana samo ako postoji okolina za koju je presek te okoline i skupa upravo ta tačka. Samim tim, ukoliko je supremum izolovana tačka, onda će po definiciji pripadati skupu [inlmath]A[/inlmath]. Ali šta se dešava kada supremum nije ni izolovana tačka, ni tačka nagomilavanja?
Korisnikov avatar
sekigan  OFFLINE
 
Postovi: 11
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +2

Re: Supremum (infimum) zatvorenog ograničenog skupa

Postod ubavic » Petak, 08. Novembar 2019, 23:54

sekigan je napisao:Postojanje supremuma i infimuma sledi iz aksiome supremuma (infimuma).

To sledi iz aksiome supremuma, ali samo ako je [inlmath]A[/inlmath] neprazan skup, što nije navedeno u postavci tvog zadatka. Taj uslov nedostaje da bi tvrđenje uopšte bilo tačno....

sekigan je napisao:Pristupio sam ovom zadatku tako što sam uzeo dva slučaja. [inlmath]\sup A[/inlmath] može biti ili tačka nagomilavanja skupa [inlmath]A[/inlmath] ili izolovana tačka.

sekigan je napisao:Sada sam pročitao u skripti da je, po definiciji, tačka izolovana samo ako postoji okolina za koju je presek te okoline i skupa upravo ta tačka.

Ovde si napravio grešku. Da li važi ova disjunkcija? Po definiciji tačka [inlmath]x[/inlmath] je tačka nagomilavanja skupa [inlmath]A[/inlmath] ako u svakoj njenoj okolini postoji beskonačno mnogo tačaka skupa [inlmath]A[/inlmath]. Prema tome, ako tačka [inlmath]x[/inlmath] nije tačka nagomilavanja skupa [inlmath]A[/inlmath], tada ona ima okolinu u kojoj se ne nalaze tačke skupa [inlmath]A[/inlmath] sem eventualno nje same (tj. postoji otvoren skup [inlmath]U[/inlmath] takav da [inlmath]x\in U[/inlmath], i važi [inlmath]A\cap U=\emptyset[/inlmath] ili [inlmath]A\cap U=\left\{x\right\}[/inlmath]).

Ako je [inlmath]\sup A[/inlmath] tačka nagomilavanja skupa [inlmath]A[/inlmath], tada mu ona i pripada jer je [inlmath]A[/inlmath] po pretpostavci zatvoren. Taj deo dokaza je OK (mada si mogao malo lepše da ga sročiš). Ostaje ti još da proveriš šta se dešava kada [inlmath]\sup A[/inlmath] nije tačka nagomilavanja? Mala pomoć: to se ne može nikako desiti jer je [inlmath]\sup A[/inlmath] po definiciji najmanje gornje ograničenje.
Korisnikov avatar
ubavic   ONLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 531
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 348 puta
Pohvaljen: 519 puta

Re: Supremum (infimum) zatvorenog ograničenog skupa

Postod sekigan » Subota, 09. Novembar 2019, 00:23

ubavic je napisao:To sledi iz aksiome supremuma, ali samo ako je [inlmath]A[/inlmath] neprazan skup, što nije navedeno u postavci tvog zadatka. Taj uslov nedostaje da bi tvrđenje uopšte bilo tačno....

Ovo je i mene zbunilo na početku, ali ovako je stajao tekst u skripti pa sam ga samo prepisao. Koristimo još uvek preliminarnu verziju skripte pa neretko naletimo na greške.

Hvala na objašnjenju, jasan mi je sad deo dokaza koji mi je nedostajao.
Korisnikov avatar
sekigan  OFFLINE
 
Postovi: 11
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Supremum (infimum) zatvorenog ograničenog skupa

Postod Onomatopeja » Utorak, 12. Novembar 2019, 19:29

Alternativni dokaz: pretpostavimo suprotno, da [inlmath]\sup A \notin A.[/inlmath] Tada [inlmath]\sup A \in A^\mathsf{c}.[/inlmath] Kako je [inlmath]A[/inlmath] zatvoren, to je [inlmath]A^\mathsf{c}[/inlmath] otvoren skup, pa postoji neka okolina od [inlmath]\sup A[/inlmath] koja cela ne pripada skupu [inlmath]A,[/inlmath] sto je u kontradikciji sa definicijom od [inlmath]\sup A.[/inlmath] Isto se radi i za [inlmath]\inf A.[/inlmath] Naravno, ogranicenost od [inlmath]A[/inlmath] se koristi kao sto ste i rekli, za egzistenciju od [inlmath]\inf A[/inlmath] i [inlmath]\sup A.[/inlmath]
 
Postovi: 596
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 564 puta

Re: Supremum (infimum) zatvorenog ograničenog skupa

Postod sekigan » Utorak, 12. Novembar 2019, 22:44

Taj dokaz bi verovatno zahtevao dodatno dokazivanje da je [inlmath]A^\mathsf{c}[/inlmath] otvoren ukoliko je A zatvoren, ali baš danas sam prešao taj deo, tako da je odlično što ste danas postavili. Hvala!
Korisnikov avatar
sekigan  OFFLINE
 
Postovi: 11
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na OSTALE OBLASTI ANALIZE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: ubavic i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 17. Novembar 2019, 11:18 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs