Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA LIMESI

Poredbeni kriterijum

[inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}x\left(\sqrt{x^2+a^2}-x\right)[/inlmath]

Poredbeni kriterijum

Postod desa9 » Četvrtak, 14. Novembar 2019, 16:43

Predjoh na limese, pa imam problem oko ovog tzv poredbenog kriterijuma. Naime, konkretno u zadatku:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\frac{\sqrt n}{1+\sqrt{2n^3+(-1)^k\cdot\sqrt k}}[/dispmath] Znam da treba da ogranicim ovaj pocetni izraz sa lijeve i desne strane uvrstavajuci za to neko [inlmath]k[/inlmath]. Probala sam da sa prvo da uvrstim da je [inlmath]k=0[/inlmath] jer je to njegova najmanja vrijednost pa onda da je [inlmath]k=n[/inlmath]. U tom slucaju bi mi smetalo [inlmath](-1)^n[/inlmath] za koje ne bih znala da nadjem limes (ako se uopste ovako radi).
desa9  OFFLINE
BANOVANA (klon)
 
Postovi: 9
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Poredbeni kriterijum

Postod Onomatopeja » Sreda, 15. April 2020, 15:34

Sa jedne strane vazi [inlmath]2n^3+(-1)^k\sqrt{k}\geq 2n^3-\sqrt{k}\geq 2n^3-\sqrt{n}>0,[/inlmath] pa je
[dispmath]\frac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{2n^3+(-1)^k\sqrt{k}}} \leq \frac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{2n^3-\sqrt{n}}},[/dispmath]
odnosno
[dispmath]\sum_{k=0}^n \frac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{2n^3+(-1)^k\sqrt{k}}} \leq \sum_{k=0}^n\frac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{2n^3-\sqrt{n}}}= \frac{(n+1)\sqrt{n}}{1+\sqrt{2n^3-\sqrt{n}}}.[/dispmath]
Sa druge strane, slicno, vazi [inlmath]0<2n^3+(-1)^k\sqrt{k}\leq 2n^3+\sqrt{k}\leq 2n^3+\sqrt{n},[/inlmath] pa je
[dispmath]\frac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{2n^3+(-1)^k\sqrt{k}}} \geq\frac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{2n^3+\sqrt{n}}},[/dispmath]
odnosno
[dispmath]\sum_{k=0}^n \frac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{2n^3+(-1)^k\sqrt{k}}} \geq \sum_{k=0}^n\frac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{2n^3+\sqrt{n}}}= \frac{(n+1)\sqrt{n}}{1+\sqrt{2n^3+\sqrt{n}}}.[/dispmath]
Dakle, za svako [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath] vazi
[dispmath]\frac{(n+1)\sqrt{n}}{1+\sqrt{2n^3+\sqrt{n}}}\leq\sum_{k=0}^n \frac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{2n^3+(-1)^k\sqrt{k}}} \leq \frac{(n+1)\sqrt{n}}{1+\sqrt{2n^3-\sqrt{n}}}.[/dispmath]

Kako je [inlmath]\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)\sqrt{n}}{1+\sqrt{2n^3+\sqrt{n}}}=\frac1{\sqrt{2}}[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)\sqrt{n}}{1+\sqrt{2n^3-\sqrt{n}}}=\frac1{\sqrt{2}},[/inlmath] to je prema lemi o dva policajca
[dispmath]\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \frac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{2n^3+(-1)^k\sqrt{k}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.[/dispmath]
 
Postovi: 609
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 583 puta


Povratak na LIMESI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 0 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 14. Avgust 2020, 12:28 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs