Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA FUNKCIJE

Dokazati da je funkcija ravnomerno neprekidna

[inlmath]f\left(x\right)=x^3+\ln\left|x+1\right|[/inlmath]

Dokazati da je funkcija ravnomerno neprekidna

Postod sekigan » Utorak, 03. Decembar 2019, 23:21

Pozdrav,

Zadatak glasi: Dokazati da je [inlmath]g(x) = \frac{sinx^2}{\sqrt{x}}[/inlmath] ravnomerno neprekidna funkcija. Očekuje se da koristim tzv. epsilon-delta pristup, tj. funkcija [inlmath]f: D(f) \to \mathbb{C}[/inlmath] se naziva ravnomerno neprekidnom ako važi: [inlmath](\forall \epsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall y \in D(f))(\forall x \in D(f))\ |x - y| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \epsilon[/inlmath]. Pristupio sam problemu tako što sam pokušao da konstruišem rešenje koje bi zadovoljilo prethodno pomenutu defniciju, tj: [inlmath]|f(x) - f(y)| = \left|\frac{sinx^2}{\sqrt{x}} - \frac{siny^2}{\sqrt{y}}\right|= \frac{\left|\sqrt{y}\ \cdot\ sinx^2 - \sqrt{x}\ \cdot\ siny^2\right|} {\sqrt{xy}}[/inlmath]. Pošto je [inlmath]g(x)[/inlmath] jasno neprekidna (radili smo teoremu po kojoj ovo važi), tako da ce biti neprekidna i na intervalu [inlmath][0, 1][/inlmath], pa možemo da primenimo Kantorovu teoremu koja nam kaže da ukoliko je funkcija [inlmath]f: [a, b] \to \mathbb{C}[/inlmath] neprekidna na ograničenom i zatvorenom intervalu [inlmath][a, b][/inlmath] onda je ona i ravnomerno neprekidna. Pošto smo slučaj [inlmath]x, y \in [0, 1][/inlmath] otpisali, možemo smatrati da je [inlmath]x, y > 1[/inlmath] i odatle će i [inlmath]\sqrt{xy} > 1[/inlmath], tj. [inlmath]\frac{\left|\sqrt{y}\ \cdot\ sinx^2 - \sqrt{x}\ \cdot\ siny^2\right|} {\sqrt{xy}} < \frac{\left|\sqrt{y}\ \cdot\ sinx^2 - \sqrt{x}\ \cdot\ siny^2\right|} {1}[/inlmath]. Ne znam kako da nastavim odavde, ne vidim način kako da uvedem deltu uopšte ovde.
sekigan  OFFLINE
 
Postovi: 14
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Dokazati da je funkcija ravnomerno neprekidna

Postod sekigan » Sreda, 04. Decembar 2019, 00:46

sekigan je napisao:Pozdrav,

tako da ce biti neprekidna i na intervalu [inlmath][0, 1][/inlmath], pa možemo da primenimo Kantorovu teoremu


Moj propust; funkcija nije definisana u nuli, tako da ovaj korak i nastavak otpada.
sekigan  OFFLINE
 
Postovi: 14
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Dokazati da je funkcija ravnomerno neprekidna

Postod Onomatopeja » Sreda, 04. Decembar 2019, 10:19

Funkcija nije definisana u nuli, tacno, ali se moze dodefinisati po neprekidnosti (do neke funkcije [inlmath]\tilde{f}[/inlmath]), koja ce biti neprekidna na [inlmath][0,1][/inlmath], a samim tim i ravnomerno neprekidna na [inlmath][0,1][/inlmath]. Tada je [inlmath]\tilde{f}[/inlmath] ravnomerna neprekidna i na [inlmath](0,1][/inlmath], a na tom skupu vazi [inlmath]\tilde{f}=f.[/inlmath] Za [inlmath][1,\infty)[/inlmath] vazi da je [inlmath]f[/inlmath] neprekidna, a [inlmath]\lim_{x\to\infty} f(x) = 0,[/inlmath] pa je [inlmath]f[/inlmath] ravnomerno neprekidna i na [inlmath][1,\infty)[/inlmath] (ako nije poznato, pokazi). Zato je [inlmath]f[/inlmath] ravnomerno neprekidna i na [inlmath](0,\infty).[/inlmath] Paznja, ne vazi u opstem slucaju da ako je neka funkcija ravnomerno neprekidna na dva skupa da ce biti ravnomerno neprekidna i na njihovoj uniji, no ovde konkretno to vazi jer ovi skupovi imaju neprazan presek.

Inace, prvo si obelezio funkciju sa [inlmath]g,[/inlmath] dao opstu definiciju za funkciju [inlmath]f,[/inlmath] a onda radio konkretan primer i koristio oznaku [inlmath]f[/inlmath] umesto [inlmath]g.[/inlmath] U tom smislu sam ja ovde koristio oznaku [inlmath]f[/inlmath] a ne [inlmath]g.[/inlmath]
 
Postovi: 598
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 565 puta

Re: Dokazati da je funkcija ravnomerno neprekidna

Postod sekigan » Sreda, 04. Decembar 2019, 11:40

Onomatopeja je napisao:a [inlmath]\lim_{x\to\infty} f(x) = 0,[/inlmath] pa je [inlmath]f[/inlmath] ravnomerno neprekidna i na [inlmath][1,\infty)[/inlmath] (ako nije poznato, pokazi).


Mi još uvek nismo definisali limese, pa se od nas očekuje da dokažemo da je ovaj interval ravnomerno neprekidan pomoću epsilon-delta definicije. Preciznije, potrebno je da za proizvoljno epsilon pronađemo delta (koje će u slučaju ravnomerne neprekidnosti zavisiti samo od epsilon ili će biti konstantno) tako da zadovoljava gore pomenut iskaz.
sekigan  OFFLINE
 
Postovi: 14
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 5 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 07. Decembar 2019, 12:39 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs