Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TRIGONOMETRIJA

Trigonometrijska nejednačina – 30. zadatak zbirka FTN

[inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]

Trigonometrijska nejednačina – 30. zadatak zbirka FTN

Postod miljan1403 » Sreda, 25. Mart 2020, 17:43

Zdravo! Imam problema sa trigonometrijskom nejednačinom jer ih nikada nismo radili u školi, i ne uspevam da pronađem nikakav dobar materijal da mi to pojasni. Pa evo da pitam. To jest ustvari radili smo, ali samo neke osnovne zadatke.
Evo zadatka: Rešite nejednačinu [inlmath]\sin x-\sqrt3\sin3x+\sin5x<0[/inlmath].
Ja sam krenuo ovako:
[dispmath]-\sqrt3\sin3x+2\sin3x\cos2x<0[/dispmath][dispmath]\sin3x\left(2\cos2x-\sqrt3\right)<0[/dispmath] I sada šta dalje? Koje uslove da postavim?
Hvala unapred na odgovoru. :D
 
Postovi: 21
Zahvalio se: 11 puta
Pohvaljen: 2 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Trigonometrijska nejednačina – 30. zadatak zbirka FTN

Postod Frank » Sreda, 25. Mart 2020, 17:53

Kada ce proizvod dva broja biti strogo manji od nule? Iz ovog zaključujes da ces u ovom zadatku imati dva slučaja:
Prvi: Kada je prvi činilac strogo veci od nule, a drugi činilac strogo manji od nule.
Drugi: Kada je prvi činilac strogo manji od nule, a drugi strogo veci od nule.
Kako je disjunkcija u pitanju, unija prvog i drugog slučaja ce dati konačno rešenje zadatka.
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 101
Zahvalio se: 60 puta
Pohvaljen: 29 puta

Re: Trigonometrijska nejednačina – 30. zadatak zbirka FTN

Postod miljan1403 » Sreda, 25. Mart 2020, 18:11

To sam i mislio da se radi, ali kako se radi to dobijanje rešenja kada je u pitanju trigonometrija, ajmo da uzemo samo prvi slučaj:
[dispmath]\sin3x>0\quad\land\quad2\cos2x-\sqrt3<0[/dispmath][dispmath]3x=k\pi\quad\land\quad\cos2x=\frac{\sqrt3}{2}[/dispmath][dispmath]x=\frac{k\pi}{3}\quad\land\quad x=\pm\frac{\pi}{12}+k\pi[/dispmath] I sada ako se ne varam rešenja ova dva su:
[dispmath]x\in\left(\frac{k\pi}{3},\;\frac{\pi}{3}+\frac{k\pi}{3}\right)\quad\land\quad x\in\left(\frac{\pi}{12}+k\pi,\;-\frac{\pi}{12}+k\pi\right)[/dispmath] Da li je ovo tačno? A ako jeste kako napisati jedno rešenja od njega? :kojik:
 
Postovi: 21
Zahvalio se: 11 puta
Pohvaljen: 2 puta

Re: Trigonometrijska nejednačina – 30. zadatak zbirka FTN

Postod Frank » Sreda, 25. Mart 2020, 18:22

Nije mi jasno kako u zadatku u kojem se trazi rešenja nejednačine ti rešavas jednačinu? Preporučujem ti da, pri rešavanju trigonometrijskih nejednačina, nacrtas kriznicu i sa nje čitaš rešenja.
Evo, na primer, da odredimo kada je [inlmath]\sin3x>0[/inlmath]. Sa trigonometrijske kruznice mozes zaključiti da je [inlmath]\frac{\pi}{2}+2k\pi<3x<2k\pi[/inlmath]. Deljenjem cele nejednakosti sa [inlmath]3[/inlmath] dobijaš interval za [inlmath]x[/inlmath] za koji vazi [inlmath]\sin3x>0[/inlmath]. Slično i za ostale slučajeve. Budi oprezan kada odredjuješ preseke intervala u prvom i drugom slučaju.
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 101
Zahvalio se: 60 puta
Pohvaljen: 29 puta

Re: Trigonometrijska nejednačina – 30. zadatak zbirka FTN

Postod miljan1403 » Sreda, 25. Mart 2020, 18:41

Okej, ja sam tražio granične vrednosti, pa sam onda sa slike pisao interval, tako su me naučili XD Sada sam uradio kao ti, i dobio sam:
[dispmath]\left(\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}<x<\frac{2k\pi}{3}\right)\quad\land\quad\left(\frac{\pi}{12}+k\pi<x<\frac{11\pi}{12}+k\pi\right)[/dispmath] I sada se traži presek, zar ne? Ali ja to ne znam kako da uradim, pa ako možeš da mi objasniš.
 
Postovi: 21
Zahvalio se: 11 puta
Pohvaljen: 2 puta

Re: Trigonometrijska nejednačina – 30. zadatak zbirka FTN

Postod Frank » Četvrtak, 26. Mart 2020, 15:13

Nije ni meni najasniji zapis rešenja (zbog periodičnosti funkcije), tako da najbolje da nam obojici objasni neko treci.
Imas grešku u zapisu rešenja, bas kao i ja. Verujem da ces i sam primetiti grešku (pogledaj malo bolje kako si okrenuo znakove nejednakosti).
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 101
Zahvalio se: 60 puta
Pohvaljen: 29 puta

Re: Trigonometrijska nejednačina – 30. zadatak zbirka FTN

Postod Daniel » Četvrtak, 26. Mart 2020, 21:32

miljan1403 je napisao:[dispmath]{\color{red}\left(\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}<x<\frac{2k\pi}{3}\right)}\quad\land\quad{\color{green}\left(\frac{\pi}{12}+k\pi<x<\frac{11\pi}{12}+k\pi\right)}[/dispmath]

Ovo crveno je pogrešno zapisano, a zeleno je ispravno.
Iz zapisa [inlmath]\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}<x<\frac{2k\pi}{3}[/inlmath] sledilo bi da je [inlmath]\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}<\frac{2k\pi}{3}[/inlmath], što se odmah vidi da ne može biti tačno.
Osim toga, ne vidim kako se uopšte tu pojavio sabirak [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath]?

[inlmath]\frac{\pi}{12}+k\pi<x<\frac{11\pi}{12}+k\pi[/inlmath] jeste tačan zapis i tačno rešenje nejednačine [inlmath]\cos2x<\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath]. Nije bio tačan onaj oblik zapisa koji si prvobitno napisao, [inlmath]x\in\left(\frac{\pi}{12}+k\pi,\;-\frac{\pi}{12}+k\pi\right)[/inlmath], jer bi, kao što malopre rekoh, leva granica intervala bila veća od desne, što je nemoguće.

Dakle, kad uočite da vam je u zapisu desna granica manja od leve, onda je potrebno desnoj granici dodati najmanji potreban broj perioda da ona postane veća od leve granice. Znači, u primeru [inlmath]x\in\left(\frac{\pi}{12}+k\pi,\;-\frac{\pi}{12}+k\pi\right)[/inlmath], pošto je desna granica manja od leve, dodajemo joj jednu periodu ([inlmath]\pi[/inlmath]) i proverimo – sada je desna granica postala [inlmath]\frac{11\pi}{12}+k\pi[/inlmath] i veća je od leve, čime smo dobili ispravan zapis. Pogrešno bi samo bilo dodati veći broj perioda od potrebnog, jer bismo time kao rešenje dobili i neke vrednosti unutar jedne periode koje ne spadaju u rešenje.

Umesto ovoga, mogli smo i od leve granice oduzeti najmanji potreban broj perioda da bi ona postala manja od desne granice. Dobili bismo [inlmath]x\in\left(-\frac{11\pi}{12}+k\pi,\;-\frac{\pi}{12}+k\pi\right)[/inlmath], što je potpuno isti skup rešenja kao i [inlmath]x\in\left(\frac{\pi}{12}+k\pi,\frac{11\pi}{12}+k\pi\right)[/inlmath], zbog periodičnosti, tj. zbog sabirka [inlmath]k\pi[/inlmath].

A da se uopšte ne bi ni desilo da u zapisu dobijete desnu granicu manju od leve, onda prilikom očitavanja trigonometrijske kružnice treba uvek ići u smeru CCW (suprotno kazaljci sata). I kažemo, [inlmath]\cos2x<\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath], znači, to počinje da važi počev od [inlmath]2x>\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath], idemo dalje kružnicom u CCW smeru, prođemo [inlmath]2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/inlmath], prođemo [inlmath]2x=\pi+2k\pi[/inlmath], prođemo [inlmath]2x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi[/inlmath], čime na kraju stižemo do [inlmath]2x<\frac{11\pi}{6}+2k\pi[/inlmath]. Znači, ne do [inlmath]2x<-\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath] (do kog bismo stigli da smo išli u smeru kazaljke sata), već do [inlmath]2x<\frac{11\pi}{6}+2k\pi[/inlmath], tj. fali nam još [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath] do punog kruga, tj. do [inlmath]2\pi[/inlmath].

miljan1403 je napisao:I sada se traži presek, zar ne? Ali ja to ne znam kako da uradim, pa ako možeš da mi objasniš.

Rešenje nejednačine [inlmath]\sin3x>0[/inlmath] je [inlmath]x\in\left(\frac{2k\pi}{3},\frac{\pi}{3}+\frac{2k\pi}{3}\right)[/inlmath], a rešenje nejednačine [inlmath]\cos2x<\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath] je [inlmath]x\in\left(\frac{\pi}{12}+k\pi,\frac{11\pi}{12}+k\pi\right)[/inlmath] kako si i napisao. Ucrtavamo to u trigonometrijsku kružnicu. Na sledećoj slici u prvu kružnicu sam ucrtao rešenje [inlmath]x\in\left(\frac{2k\pi}{3},\frac{\pi}{3}+\frac{2k\pi}{3}\right)[/inlmath] (plavo), a u drugu [inlmath]x\in\left(\frac{\pi}{12}+k\pi,\frac{11\pi}{12}+k\pi\right)[/inlmath] (žuto).

ocitavanje kruznice.png
ocitavanje kruznice.png (7.31 KiB) Pogledano 50 puta

Pošto imamo konjunkciju, tj. tražimo presek ovih rešenja, posmatramo na kojim intervalima će se obeležene površine prve i druge kružnice preklopiti. Njih sam u trećoj kružnici označio zelenom bojom i one predstavljaju vrednosti [inlmath]x[/inlmath] za koje će konjunkcija biti zadovoljena.
Sad treba isto to uraditi i za onu drugu konjunkciju, a zatim naći uniju rešenja jedne i druge konjunkcije (pri čemu ćemo na trigonometrijskim kružnicama posmatrati ne preseke površina kao sada, već njihovu uniju, logično).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7935
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4141 puta
Pohvaljen: 4219 puta

Re: Trigonometrijska nejednačina – 30. zadatak zbirka FTN

Postod miljan1403 » Četvrtak, 26. Mart 2020, 23:11

Hvala ti puno na ovako lepom objašnjenju. Mislim da si uspeo da mi objasniš, samo evo da proverimo. Da li je presek onda ova dva:
[dispmath]x\in\left(\frac{\pi}{10},\frac{\pi}{3}\right)\cup\left(\frac{2\pi}{3},\frac{11\pi}{12}\right)\cup\left(\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\right)[/dispmath] Ako sam uspeo, onda da nastavim da radim dalje. Inače video sam da u rešenju nema [inlmath]2k\pi,k\pi[/inlmath] pa nisam ni stavio u ovom preseku, da li je to okej? :D
P.S: Koji softver si koristio za pravljenje te slike?
 
Postovi: 21
Zahvalio se: 11 puta
Pohvaljen: 2 puta

Re: Trigonometrijska nejednačina – 30. zadatak zbirka FTN

Postod Daniel » Petak, 27. Mart 2020, 00:48

miljan1403 je napisao:Da li je presek onda ova dva:
[dispmath]x\in\left(\frac{\pi}{10},\frac{\pi}{3}\right)\cup\left(\frac{2\pi}{3},\frac{11\pi}{12}\right)\cup\left(\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\right)[/dispmath]

U imeniocu prvog razlomka treba da stoji [inlmath]12[/inlmath] umesto [inlmath]10[/inlmath]. Ostalo je OK, izuzev sabiraka za periodičnost, na šta se i odnosi sledeće tvoje pitanje:
miljan1403 je napisao:Inače video sam da u rešenju nema [inlmath]2k\pi,k\pi[/inlmath] pa nisam ni stavio u ovom preseku, da li je to okej? :D

Ako se u zadatku traže rešenja koja pripadaju određenom intervalu kao što je [inlmath](0,2\pi)[/inlmath], onda je okej. Ako ništa nije navedeno o intervalu rešenja onda nije okej – moraju se sva rešenja uzeti u obzir, a to znači i periodičnost.

miljan1403 je napisao:P.S: Koji softver si koristio za pravljenje te slike?

viewtopic.php?f=5&t=274&start=10
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7935
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4141 puta
Pohvaljen: 4219 puta

Re: Trigonometrijska nejednačina – 30. zadatak zbirka FTN

Postod Frank » Petak, 27. Mart 2020, 01:02

Ako se ne varam - presek rešenja na intervalu [inlmath][0,2\pi[/inlmath]] ce biti isti kao i na drugim intervalima? Sad kad bi po drugi put obišli trigonometrijsku kriznicu i osenčili rešenja nejednačine, te osenčene oblasti bi se preklapale sa osenčenim oblastima iz prvog obilaska oko kruznice (tj. intervala [inlmath][0,2\pi][/inlmath]?
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 101
Zahvalio se: 60 puta
Pohvaljen: 29 puta

Sledeća

Povratak na TRIGONOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 4 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Sreda, 01. April 2020, 10:50 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs