Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA BROJEVA

Dokazati tvrdjenje pomocu matematicke indukcije

[inlmath]a^p\equiv a\pmod p,\;a\in\mathbb{Z},\;p\in\mathbb{P}[/inlmath]

Dokazati tvrdjenje pomocu matematicke indukcije

Postod Frank » Subota, 18. April 2020, 19:04

Pozdrav! Dokazati da za sve prirodne brojeve [inlmath]n\ge0[/inlmath] vazi: [inlmath]9\mid n\cdot4^{n+1}-(n+1)\cdot4^n+1[/inlmath].
Neka je [inlmath]f(n)=n\cdot4^{n+1}-(n+1)\cdot4^n+1[/inlmath]. Sad prelazim na prvi korak dokazivanja preko matematicke indukcije - Indukcijska baza:
[dispmath]f(0)=0\cdot4^{0+1}-(n+1)\cdot4^0+1[/dispmath][dispmath]f(0)=\cancel{-1}+0+\cancel1=0[/dispmath] Nula je deljiva devetkom tako da je indukcijska baza zadovoljena, pa prelazim na drugi korak dokazivanja - indukcijska pretpostavka. Pretpostavim da [inlmath]f(n)[/inlmath] vazi za sve prirodne brojeve. Sada trazim vezu izmedju [inlmath]f(n)[/inlmath] i [inlmath]f(n+1)[/inlmath]:
[dispmath]f(n+1)=(n+1)\cdot4^{n+1+1}-(n+1+1)\cdot4^{n+1}+1[/dispmath][dispmath]f(n+1)=4\cdot n\cdot4^{n+1}+4\cdot4^{n+1}-4\cdot(n+1)\cdot4^n-4\cdot4^n+1[/dispmath][dispmath]f(n+1)=4\underbrace{\left(n\cdot4^{n+1}-(n+1)\cdot4^n+1\right)}_{f(n)}+12\cdot4^n-3[/dispmath] Sad mi problem predstavlja kako da dokazem da je i ostatak deljiv sa [inlmath]9[/inlmath], pa molim za pomoc. Hvala unapred!
Frank   ONLINE
 
Postovi: 231
Zahvalio se: 119 puta
Pohvaljen: 120 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Dokazati tvrdjenje pomocu matematicke indukcije

Postod miletrans » Subota, 18. April 2020, 19:35

Ja bih primenio matematičku indukciju i na ostatak. Time bismo imali zbir nekoliko sabiraka koji su svi pojedinačno deljivi sa [inlmath]9[/inlmath], pa je i zbir deljiv sa [inlmath]9[/inlmath]. Ostatak bih zapisao kao [inlmath]3\left(4^{n+1}-1\right)[/inlmath], pa bih onda dokazao deljivost izraza u zagradi sa [inlmath]3[/inlmath] (u ovom zadatku nema velike razlike, ali u nekom drugom možeš da uštediš vreme).
Globalni moderator
 
Postovi: 350
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 403 puta


Povratak na TEORIJA BROJEVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 0 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Sreda, 03. Jun 2020, 01:02 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs