Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA POLINOMI

Ostatak pri deljenju polinoma

[inlmath]P\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0[/inlmath]

Ostatak pri deljenju polinoma

Postod stevan95 » Petak, 14. Februar 2014, 20:11

Zadatak glasi:

Polinom [inlmath]P(x)[/inlmath] pri deljenju sa [inlmath](x+1)[/inlmath] daje ostatak [inlmath]2[/inlmath], a pri deljenju sa [inlmath](x-2)[/inlmath], daje ostatak [inlmath]1[/inlmath]. Koliki je ostatak pri deljenju sa [inlmath]\left(x^2-x-2\right)[/inlmath]?
Uključite logiku i uživajte u matematici! :D
stevanpetrov.wordpress.com
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 140
Lokacija: Vršac
Zahvalio se: 166 puta
Pohvaljen: 70 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Ostatak pri deljenju polinoma

Postod Daniel » Petak, 14. Februar 2014, 23:26

Polinom [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] pri deljenju sa [inlmath]\left(x+1\right)[/inlmath] daje ostatak [inlmath]2[/inlmath]
[dispmath]\Rightarrow\quad P\left(x\right)=G_1\left(x\right)\cdot\left(x+1\right)+2\quad\left(1\right)[/dispmath]
a pri deljenju sa [inlmath]\left(x-2\right)[/inlmath], daje ostatak [inlmath]1[/inlmath]
[dispmath]\Rightarrow\quad P\left(x\right)=G_2\left(x\right)\cdot\left(x-2\right)+1\quad\left(2\right)[/dispmath]
Ostatak pri deljenju dva polinoma je polinom čiji je stepen bar za jedan manji od stepena polinoma delioca. Pošto je u našem slučaju polinom delilac [inlmath]x^2-x-2[/inlmath], tj. [inlmath]2.[/inlmath] je stepena, ostatak tražimo kao polinom [inlmath]1.[/inlmath] stepena, tj. [inlmath]Ax+B[/inlmath]:
[dispmath]P\left(x\right)=G_3\left(x\right)\cdot\left(x^2-x-2\right)+Ax+B\\
x^2-x-2=\left(x+1\right)\left(x-2\right)\\
\Rightarrow\quad P\left(x\right)=G_3\left(x\right)\cdot\left(x+1\right)\left(x-2\right)+Ax+B\quad\left(3\right)[/dispmath]
[dispmath]\left.\begin{array}{l}
\left(3\right)\quad\Rightarrow\quad P\left(-1\right)=\underbrace{G_3\left(-1\right)\cdot\left(-1+1\right)\left(-1-2\right)}_0-A+B\\
\left(1\right)\quad\Rightarrow\quad P\left(-1\right)=\underbrace{G_1\left(-1\right)\cdot\left(-1+1\right)}_0+2
\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad -A+B=2\quad\left(4\right)[/dispmath]
[dispmath]\left.\begin{array}{l}
\left(3\right)\quad\Rightarrow\quad P\left(2\right)=\underbrace{G_3\left(2\right)\cdot\left(2+1\right)\left(2-2\right)}_0+2A+B\\
\left(2\right)\quad\Rightarrow\quad P\left(2\right)=\underbrace{G_2\left(2\right)\cdot\left(2-2\right)}_0+1
\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad 2A+B=1\quad\left(5\right)[/dispmath]
Rešiš sistem jednačina [inlmath]\left(4\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(5\right)[/inlmath] i dobiješ [inlmath]A=-\frac{1}{3}[/inlmath] i [inlmath]B=\frac{5}{3}[/inlmath], znači, ostatak je [inlmath]-\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}[/inlmath].



Možda ćeš želeti i da proveriš dobijeni rezultat (to uvek preporučujem, ako ti vreme dozvoljava).

Pretpostavimo da su [inlmath]G_1\left(x\right)[/inlmath] i [inlmath]G_2\left(x\right)[/inlmath] polinomi nultog stepena, tj. konstante [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath]:
[dispmath]\begin{array}{l}
\left(1\right)\quad\Rightarrow\quad P\left(x\right)=A\left(x+1\right)+2=Ax+A+2\\
\left(2\right)\quad\Rightarrow\quad P\left(x\right)=B\left(x-2\right)+1=Bx-2B+1
\end{array}[/dispmath]
[dispmath]\Rightarrow\quad A=B,\quad A+2=-2B+1\\
\Rightarrow\quad A=B=-\frac{1}{3}\quad\Rightarrow\quad P\left(x\right)=-\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}[/dispmath]
što, kad se podeli polinomom većeg stepena, [inlmath]x^2-x-2[/inlmath] daje nulu kao količnik i sâm taj polinom kao ostatak. :correct:

A ako pretpostavimo da su [inlmath]G_1\left(x\right)[/inlmath] i [inlmath]G_2\left(x\right)[/inlmath] polinomi [inlmath]1.[/inlmath] stepena, [inlmath]Ax+B[/inlmath] i [inlmath]Cx+D[/inlmath]:
[dispmath]\begin{array}{l}
\left(1\right)\quad\Rightarrow\quad P\left(x\right)=\left(Ax+B\right)\left(x+1\right)+2=Ax^2+\left(A+B\right)x+B+2\\
\left(2\right)\quad\Rightarrow\quad P\left(x\right)=\left(Cx+D\right)\left(x-2\right)+1=Cx^2+\left(-2C+D\right)x-2D+1
\end{array}[/dispmath]
[dispmath]\Rightarrow\quad A=C,\quad A+B=-2C+D,\quad B+2=-2D+1[/dispmath]
Sistem od [inlmath]3[/inlmath] jednačine s [inlmath]4[/inlmath] nepoznate; ako pretpostavimo da je npr. [inlmath]D=1[/inlmath],
[dispmath]\Rightarrow\quad B=-3,\quad A=C=\frac{4}{3}\quad\Rightarrow\quad P\left(x\right)=\frac{4}{3}x^2-\frac{5}{3}x-1[/dispmath]
pa izvršimo deljenje,

[inlmath]\frac{4}{3}x^2-\frac{5}{3}x-1:x^2-x-2=\frac{4}{3}[/inlmath]
[inlmath]\underline{\frac{4}{3}x^2-\frac{4}{3}x-\frac{8}{3}}[/inlmath]
[inlmath]\phantom{4x-}-\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}[/inlmath] :correct:



Prelistaj malo rubriku „Polinomi“, bilo je već vrlo sličnih zadataka ovome, doduše, sad sam prikazao postupak prilično detaljnije nego u takvim dosadašnjim zadacima...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7959
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4148 puta
Pohvaljen: 4230 puta

Re: Ostatak pri deljenju polinoma

Postod stevan95 » Nedelja, 16. Februar 2014, 16:52

Hvala ti, Daniele. Pogledao sam i ostale postove, ali budući da sam slabo znao ovu oblast, nije mi ništa bilo jasno, ali sad jeste :)
Uključite logiku i uživajte u matematici! :D
stevanpetrov.wordpress.com
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 140
Lokacija: Vršac
Zahvalio se: 166 puta
Pohvaljen: 70 puta


Povratak na POLINOMI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 3 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 09. April 2020, 21:08 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs