Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica RAZNO ZANIMLJIVI ZADACI

Kvadratna jednačina

Kvadratna jednačina

Postod rade » Četvrtak, 17. Novembar 2022, 18:53

[inlmath]1111111122222222:x=x+1\\
x=?[/inlmath]
rade  OFFLINE
 
Postovi: 23
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 8 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Kvadratna jednačina

Postod Daniel » Sreda, 23. Novembar 2022, 13:44

Nakon množenja obe strane sa [inlmath]x[/inlmath] (pošto [inlmath]x[/inlmath] očigledno ne može biti nula) jednačina se svodi na
[dispmath]x(x+1)=1111111122222222[/dispmath] Sada broj [inlmath]1111111122222222[/inlmath] zapišemo kao zbir brojeva [inlmath]1111111111111111[/inlmath] i [inlmath]11111111[/inlmath], a zatim svaki od ta dva sabirka kao sumu geometrijskog niza:
[inlmath]1111111111111111=10^0+10^1+\cdots+10^{15}=\frac{10^{16}-1}{9}\\
11111111=10^0+10^1+\cdots+10^7=\frac{10^8-1}{9}[/inlmath]
(Do ovoga smo mogli doći i drugačije, tako što [inlmath]11111111[/inlmath] prvo napišemo kao [inlmath]\frac{99999999}{9}[/inlmath], a zatim kao [inlmath]\frac{10^8-1}{9}[/inlmath] – slično i za [inlmath]1111111111111111[/inlmath].)
Jednačina postaje:
[dispmath]x(x+1)=\frac{10^{16}-1}{9}+\frac{10^8-1}{9}[/dispmath] Primenom razlike kvadrata na [inlmath]10^{16}-1[/inlmath],
[dispmath]x(x+1)=\frac{\left(10^8-1\right)\left(10^8+1\right)}{9}+\frac{10^8-1}{9}\\
x(x+1)=\frac{10^8-1}{9}\Bigl(\left(10^8+1\right)+1\Bigr)\\
x(x+1)=\frac{\left(10^8-1\right)\left(10^8+2\right)}{9}[/dispmath] Pošto je desna strana pozitivna, mora biti pozitivna i leva strana, što znači da su ili oba broja [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]x+1[/inlmath] pozitivna, ili su oba negativna. Rešenje ćemo tražiti za slučaj da su oba pozitivna, a nakon toga će biti lako naći rešenje i za slučaj da su oba negativna.
Pošto na levoj strani imamo proizvod brojeva koji se međusobno razlikuju za jedan, moramo i na desnoj strani imati proizvod brojeva koji se međusobno razlikuju za jedan. Činioci [inlmath]10^8-1[/inlmath] i [inlmath]10^8+2[/inlmath] međusobno se razlikuju za [inlmath]3[/inlmath], pa ćemo deljenjem svakog od njih sa [inlmath]3[/inlmath] (što je isto kao da smo njihov proizvod podelili sa [inlmath]9[/inlmath]) i na desnoj strani dobiti proizvod brojeva koji se međusobno razlikuju za jedan:
[dispmath]x(x+1)=\frac{10^8-1}{3}\cdot\frac{10^8+2}{3}\\
x(x+1)=33333333\cdot33333334[/dispmath] Odatle je
[dispmath]x=33333333,\quad x+1=33333334[/dispmath] dok je, za slučaj da je [inlmath]x[/inlmath] negativno,
[dispmath]x=-33333334,\quad x+1=-33333333[/dispmath] Prema tome, rešenja jednačine su
[dispmath]x_1=-33333334,\quad x_2=33333333[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9145
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5053 puta
Pohvaljen: 4880 puta

Re: Kvadratna jednačina

Postod rade » Petak, 02. Decembar 2022, 12:40

Bravo! :thumbup:
rade  OFFLINE
 
Postovi: 23
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 8 puta


Povratak na ZANIMLJIVI ZADACI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 06. Februar 2023, 01:33 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs