Zdravo, da li neko ume da resi ovaj zadatak?

Zaba skace po brojevnoj pravoj ([inlmath]1-9[/inlmath]). Pocinje na broju [inlmath]0[/inlmath] i skace proizvoljno na svaki od brojeva [inlmath]1,2,\ldots,9[/inlmath] tacno jedanput i konacno svojim poslednjim skokom nazad na broj [inlmath]0[/inlmath].
Da li ukupna duzina koju predje prilikom [inlmath]10[/inlmath] skokova moze da iznosi a) [inlmath]20[/inlmath]; b) [inlmath]25[/inlmath] jedinica duzine?
Jedna jedinica duzine je razmak izmedju [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath] na brojevnoj pravoj. Potreban je dokaz. Hvala unapred.

Ja mislim da je predjeni put žabe ( zbir dužina skokova ) paran broj. Ako to dokažeš, rešila si zadatak.

Kako bi se to dokazalo?

Kretanje žabe možemo opisati nizom od [inlmath]11[/inlmath] brojeva. Prvi broj će biti [inlmath]0[/inlmath] zato što iz te tačke žaba počinje kretanje, drugi broj je položaj žabe posle prvog skoka, treći broj - položaj posle drugog skoka, ... , a jedanaesti broj će biti [inlmath]0[/inlmath] zato što deseti skok vraća žabu na početni položaj. Taj niz počinje i završava sa nulom, a između tih nula su raspoređene cifre [inlmath]1,2,3, \dots 9[/inlmath]. Jedno od mogućih kretanja žabe opisuje ovaj niz: [inlmath]03761289540[/inlmath]. Pređeni put žabe, ako je njeno kretanje opisano prethodnim nizom, možemo izračunati tako što ćemo sabrati dužine pojedinačnih skokova. Prvi skok je dužine [inlmath](3-0)[/inlmath]. Drugi skok je dužine [inlmath](7-3)[/inlmath] zato što je žaba u drugom skoku sa tačke [inlmath]3[/inlmath] skočila na tačku [inlmath]7[/inlmath]. Pošto se žaba u trećem skoku sa pozicije [inlmath]7[/inlmath] vratila na poziciju [inlmath]6[/inlmath], dužina trećeg skoka je apsolutna vrednost razlike četvrtog i trećeg broja u nizu. Prema tome, dužina [inlmath]n-[/inlmath] tog skoka žabe jednaka je apsolutnoj vrednosti razlike [inlmath](n+1)-[/inlmath]vog i [inlmath]n-[/inlmath]tog broja u nizu.

Naredni niz opisuje kretanje u kojem je žaba prešla put dužine [inlmath]20[/inlmath]: [inlmath]09876543120[/inlmath]. ( Put dužine [inlmath]20[/inlmath] žaba može realizovati na više načina. )

Dokažimo da je pređeni put žabe paran broj.

Pošto je dužina skoka apsolutna vrednost razlike susednih brojeva u nizu, ako su ti brojevi iste parnosti, njihova razlika će biti paran broj. Dužina skoka će biti neparan broj ako su susedni brojevi različite parnosti. Pošto niz koji opisuje kretanje žabe, počinje i završava sa nulom, u tom nizu imamo podnizove u kojima je jedan neparan broj, ograničen parnim brojevima ([inlmath]pnp[/inlmath]), ili, dva ili više susednih neparnih brojeva, ograničeno sa parnim brojevima ([inlmath]pn \dots np[/inlmath]). U prvom slučaju (pnp) imamo dva skoka koji povezuju tačke različite parnosti ([inlmath]p - n[/inlmath] i [inlmath]n - p[/inlmath]), pa su ta dva skoka neparne dužine. U drugom slučaju ([inlmath]pn \dots np[/inlmath]), prvi i poslednji skok imaju neparnu dužinu, a između ta dva skoka, skokovi povezuju neparne tačke pa imaju parnu dužinu. Prema tome, broj skokova neparne dužine mora biti paran broj, pa je i zbir dužina svih skokova, odnosno pređeni put žabe, takođe paran broj.
Sledi da žaba ne može preći put dužine [inlmath]25[/inlmath].