MATEMANIJA

Daleke 1984. godine Anatolij Karpov (prvak sveta) i Gari Kasparov (izazivač) igrali su meč za titulu. Verujem da tada velika većina forumaša nije bila ni u desetotogodišnjem planu, što za mene ne važi, odlično se sećam tog meča. (Uostalom, "deda" je bio prvi pick za moj nick na Matemaniji...Uh, počeo sam da rimujem i to na engleskom, eto šta matematika napravi od čoveka ). Ali da se vratim na meč.
Nerešeni ishodi (remiji) se nisu računali, a pobednik meča bi bio onaj velemajstor koji prvi postigne [inlmath]6[/inlmath] pobeda. Elem, meč se odužio na nekoliko meseci, igrači su bili iscrpljeni, publika nezadovoljna predugim serijama remija... Na kraju je odlučeno da se meč prekine kod rezultata [inlmath]5:3[/inlmath] za Karpova, uz saglasnost obojice igrača. Niko nije pobedio, kasnije su igrali drugi meč, sa fiksiranim brojem partija ([inlmath]24[/inlmath]) pa ako bude [inlmath]12:12[/inlmath] titulu zadržava Karpov. Inače, tada je pobedio Kasparov, no da se vratim na temu.
Postavilo se pitanje kako podeliti nagradu, pošto u tom prvom meču niko nije pobedio. Bilo je predloga da se deli u odnosu [inlmath]5:3[/inlmath], ali se sa tim nije složio Karpov (zvaćemo ga igrač [inlmath]A[/inlmath]) jer je ipak bio mnogo bliži pobedi od Kasparova (zvaćemo ga igrač [inlmath]B[/inlmath]).Na kraju su se dogovorili da se nagrada podeli prema odnosu verovatnoća njihovih pobeda u meču. Da su nastavili, kad-tad bi neko pobedio (ako zanemarimo činjenicu da igrači nisu besmrtni ). Dakle, nagrada se deli u odnosu [inlmath]P(A):P(B)[/inlmath]. Ova dve verovatnoće dopunjavaju se do jedinice. Lako se uočava da je lakše naći verovatnoću pobede za igrača [inlmath]B[/inlmath], pošto on ima manje šansi za pobedu, pa je i manje računa. Zapravo je ovo jako prosto: Igrač [inlmath]B[/inlmath] tj Kasparov pobeđuje samo ako veže tri pobede za redom, onda bi bilo [inlmath]5:6[/inlmath]. Pretpostavka je da je igra fer, tj verovatnoća pobede u svakoj od partija za svakog od njih je po [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath]. Imali bismo: [inlmath]P(B)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8}[/inlmath] Naravno da je onda verovatnoća pobede Karpova: [inlmath]P(A)=1-P(B)=\frac{7}{8}[/inlmath] Nagrada je i podeljena u ovom odnosu. Preciznije, propozicije su bile takve da pobednik dobija [inlmath]70\%[/inlmath] nagradnog fonda a poraženi [inlmath]30\%[/inlmath] pa je to rešeno na taj način što su najpre obojica dobili po [inlmath]30\%[/inlmath] a preostalih [inlmath]40\%[/inlmath] podeljeno je u odnosu [inlmath]7:1[/inlmath] u korist igrača [inlmath]A[/inlmath].
A sada pitanje za vas: kako bi se podelila nagrada da se igralo do [inlmath]8[/inlmath] pobeda, a meč prekinut kod rezultata [inlmath]5:2[/inlmath] za igrača [inlmath]A[/inlmath]? Videćete kako je ovo tvrd orah, bez obzira da li pešice brojite ishode ili se potpomožete kombinatornim alatima... Za sada ne dajem rezultat, no nije problem ni rezultat ni postupak, ali kasnije.

desideri je napisao:Lako se uočava da je lakše naći verovatnoću pobede za igrača [inlmath]B[/inlmath], pošto on ima manje šansi za pobedu, pa je i manje računa. Zapravo je ovo jako prosto: Igrač [inlmath]B[/inlmath] tj Kasparov pobeđuje samo ako veže tri pobede za redom, onda bi bilo [inlmath]5:6[/inlmath]. Pretpostavka je da je igra fer, tj verovatnoća pobede u svakoj od partija za svakog od njih je po [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath]. Imali bismo: [inlmath]P(B)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8}[/inlmath] Naravno da je onda verovatnoća pobede Karpova: [inlmath]P(A)=1-P(B)=\frac{7}{8}[/inlmath]

Ja bih pokazao i onaj drugi, komplikovaniji način određivanja verovatnoće pobede. Svakako da je računanje [inlmath]P\left(B\right)[/inlmath] daleko jednostavnije, ali zašto da malo ne zakomplikujemo? Računaćemo [inlmath]P\left(A\right)[/inlmath].
Nakon rezultata [inlmath]5:3[/inlmath], igrač [inlmath]A[/inlmath] dobija meč u jednom od sledeća tri slučaja:

1. slučaj – prvu narednu partiju dobija igrač [inlmath]A[/inlmath] (čime rezultat dolazi do [inlmath]6:3[/inlmath]) – verovatnoća je [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath];
2. slučaj – prvu narednu partiju dobija igrač [inlmath]B[/inlmath] (čime rezultat dolazi do [inlmath]5:4[/inlmath]), a zatim dobija igrač [inlmath]A[/inlmath] (čime rezultat dolazi do [inlmath]6:4[/inlmath]) – verovatnoća je [inlmath]\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}[/inlmath], tj. [inlmath]\left(\frac{1}{2}\right)^2[/inlmath];
3. slučaj – prve dve naredne partije dobija igrač [inlmath]B[/inlmath] (čime rezultat dolazi do [inlmath]5:5[/inlmath]), a zatim dobija igrač [inlmath]A[/inlmath] (čime rezultat dolazi do [inlmath]6:5[/inlmath]) – verovatnoća je [inlmath]\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}[/inlmath], tj. [inlmath]\left(\frac{1}{2}\right)^3[/inlmath].

Verovatnoća da će igrač [inlmath]A[/inlmath] dobiti meč jednaka je zbiru prethodno izračunatih verovatnoća:
[dispmath]P\left(A\right)=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{7}{8}[/dispmath]
i odatle i [inlmath]P\left(B\right)=\frac{1}{8}[/inlmath], što je, dabome, isti rezultat kao kada radimo na onaj jednostavniji način, odmah računajući [inlmath]P\left(B\right)[/inlmath].

desideri je napisao:A sada pitanje za vas: kako bi se podelila nagrada da se igralo do [inlmath]8[/inlmath] pobeda, a meč prekinut kod rezultata [inlmath]5:2[/inlmath] za igrača [inlmath]A[/inlmath]? Videćete kako je ovo tvrd orah, bez obzira da li pešice brojite ishode ili se potpomožete kombinatornim alatima... Za sada ne dajem rezultat, no nije problem ni rezultat ni postupak, ali kasnije.

Ja sam se koristio kombinatornim alatima... Ajd da ne objavljujem još uvek svoj postupak, možda će još neko hteti da pokuša, a kao rezultat dobijem [inlmath]P\left(A\right)=\frac{219}{256}[/inlmath] i [inlmath]P\left(B\right)=\frac{37}{256}[/inlmath].

Rezultat je naravno tačan. Odlično je što si pokazao i ovaj komplikovaniji način, sada bi stvarno poneko mogao malo da se potrudi... A u vezi kombinatornih alata preporučujem najbolji tutorijal koji sam ikada video, ne samo na netu već i u knjigama.

Nadao sam se da će neko ipak pokušati ovo da uradi, al' kad nema nikog, šteta da ovako lep zadatak ostane bez prikazanog postupka.

Dakle, trenutni rezultat je [inlmath]5:2[/inlmath] za igrača [inlmath]A[/inlmath], a igra se do [inlmath]8[/inlmath] partija. Tražićemo verovatnoću da će igrač [inlmath]B[/inlmath] dobiti meč. Da bi se to desilo, potrebno je da igrač [inlmath]B[/inlmath] dobije još [inlmath]6[/inlmath] partija.
Potrebno je odigrati još [inlmath]n[/inlmath] partija, pri čemu [inlmath]n[/inlmath] može biti bilo koji prirodan broj od [inlmath]6[/inlmath] (u slučaju da igrač [inlmath]B[/inlmath] dobija sve partije) pa do [inlmath]8[/inlmath] (u slučaju da igrač [inlmath]A[/inlmath] dobije dve partije).
Da bi igrač [inlmath]B[/inlmath] dobio meč, on mora dobiti poslednju od ukupno [inlmath]n[/inlmath] partija, a verovatnoća tog događaja je [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath]. Dalje, potrebno je da od preostalih [inlmath]\left(n-1\right)[/inlmath] partija igrač [inlmath]B[/inlmath] dobije [inlmath]5[/inlmath] partija, a verovatnoća da se to desi određena je binomnom raspodelom: [inlmath]f\left(5;n-1,p\right)={n-1\choose 5}p^5\left(1-p\right)^{n-1-5}[/inlmath], a pošto je [inlmath]p=\frac{1}{2}[/inlmath], ova formula se svodi na:
[dispmath]f\left(5;n-1,\frac{1}{2}\right)={n-1\choose 5}\left(\frac{1}{2}\right)^5\left(1-\frac{1}{2}\right)^{n-6}\\
f\left(5;n-1,\frac{1}{2}\right)={n-1\choose 5}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}[/dispmath]
Ovu verovatnoću još treba pomnožiti sa [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] (verovatnoća da igrač [inlmath]B[/inlmath] dobije onu poslednju partiju), čime dobijamo da je za neko fiksirano [inlmath]n[/inlmath], verovatnoća pobede igrača [inlmath]B[/inlmath]:
[dispmath]{n-1\choose 5}\left(\frac{1}{2}\right)^n[/dispmath]
Ukupnu verovatnoću da će igrač [inlmath]B[/inlmath] dobiti meč računamo tako što saberemo verovatnoće za [inlmath]n=6[/inlmath], [inlmath]n=7[/inlmath] i [inlmath]n=8[/inlmath]:
[dispmath]P\left(B\right)={6-1\choose 5}\left(\frac{1}{2}\right)^6+{7-1\choose 5}\left(\frac{1}{2}\right)^7+{8-1\choose 5}\left(\frac{1}{2}\right)^8\\
P\left(B\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^6\left[{5\choose 5}+{6\choose 5}\cdot\frac{1}{2}+{7\choose 5}\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\\
P\left(B\right)=\frac{1}{64}\left[{5\choose 0}+{6\choose 1}\cdot\frac{1}{2}+{7\choose 2}\cdot\frac{1}{4}\right]\\
P\left(B\right)=\frac{1}{64}\left(1+\cancel6^3\cdot\frac{1}{\cancel2}+\frac{7\cdot\cancel6^3}{\cancel2}\cdot\frac{1}{4}\right)\\
P\left(B\right)=\frac{1}{64}\left(4+\frac{21}{4}\right)\\
P\left(B\right)=\frac{1}{64}\cdot\frac{37}{4}\\
\enclose{box}{P\left(B\right)=\frac{37}{256}}[/dispmath]
Naravno, pošto mora biti [inlmath]P\left(A\right)+P\left(B\right)=1[/inlmath], odatle je verovatnoća da će meč dobiti igrač [inlmath]A[/inlmath]:
[dispmath]P\left(A\right)=1-P\left(B\right)\\
P\left(A\right)=1-\frac{37}{256}\\
\enclose{box}{P\left(A\right)=\frac{219}{256}}[/dispmath]

[inlmath]\quad[/inlmath]Super objašnjen zadatak, svaka čast
Ključna stvar je upravo ovo:

Daniel je napisao:Da bi igrač [inlmath]B[/inlmath] dobio meč, on mora dobiti poslednju od ukupno [inlmath]n[/inlmath] partija

Moguće je ovo posmatrati i preko Paskalove raspodele verovatnoća, koja predstavlja slučajni eksperiment koji se ponavlja dok se događaj (uspeh) ne realizuje [inlmath]k[/inlmath] puta. Dakle, slučajna promenljiva [inlmath]X[/inlmath] je broj ponavljanja eksperimenta do [inlmath]k[/inlmath]-tog uspeha, pri čemu je:
[dispmath]P(X=x)={x-1\choose k-1}p^k\left(1-p\right)^{x-k}\quad x=k,\;k+1,\;k+2,\;\ldots[/dispmath]
Ovde je [inlmath]k[/inlmath] bilo koji prirodan broj od [inlmath]1[/inlmath] na dalje i predstavlja parametar raspodele. U ovom zadatku je [inlmath]k=6[/inlmath] jer igraču [inlmath]B[/inlmath] treba [inlmath]6[/inlmath] pobeda pa je tražena verovatnoća:
[dispmath]P(B)=P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)=[/dispmath][dispmath]={6-1\choose6-1}p^6\left(1-p\right)^{6-6}+{7-1\choose6-1}p^6\left(1-p\right)^{7-6}+{8-1\choose6-1}p^6\left(1-p\right)^{8-6}=\frac{37}{256}[/dispmath]
Da napomenem još i da se za [inlmath]k=1[/inlmath] Paskalova raspodela svodi na geometrijsku raspodelu, gde je slučajna promenljiva broj ponavljanja eksperimenta do prvog uspeha odnosno tu je [inlmath]k=1[/inlmath]:
[dispmath]P(X=x)=p\left(1-p\right)^{x-1}\quad x=1,\;2,\;3,\;\ldots[/dispmath]