MATEMANIJA

Verovatno većina vas zna za ovaj mističan trougao, skoro da nema foruma na kome isti nije bio pominjan, pa je red da ni ovaj naš forum ne bude po tome izuzetak.

Imamo trougao koji je napravljen od četiri parčeta različitih oblika, kao na gornjoj polovini slike.

E sad uzmemo te parčiće pa ih ispremeštamo tako da dobijemo isti taj trougao, ali, šta se desilo – pojavila nam se jedna „rupa“ pri dnu (donja polovina slike).


Pa šta je to sad?

Otkud sad ta razlika u površini, kad se ova dva trougla sastoje od potpuno istih parčića?

Znao sam o kom trouglu se radi čim sam pročitao naslov. Prilično poznat, ali dobar problem. Naravno, ja se neću za sada oglašavati, dajmo priliku onima koji prvi put sreću ovo.

Internet je prepun ovoga
Ne virujem da bi neko skužia tek tako da se radi o optičkoj iluziji jer plavi i crveni trokut kao nemaju jednaki kut.
Hipotenuza je takoreći izlomljena i radi se o dvije dužene, dakle no hipotenuza bejbi.
Ali nikad svojim okom nebi ovo vidia
Yes, Google helped me.

Tako je, znači, nije u pitanju trougao, već – trapezoid.

Mala dopuna rešenju:

Na slici je prikazan paralelogram (romboid) kojeg formiraju „hipotenuza“ gornjeg i „hipotenuza“ donjeg „trougla“.


Iako, zbog optičke varke, na slici tako ne izgleda, površina tog paralelograma je jednaka površini obeleženog kvadrata.

Samo dodam kako je najlakše da se primeti zakrivljenost "hipotenuze" ovih "trouglova". Odnos kateta kod plavog trogula je [inlmath]3/8[/inlmath], a kod crvenog [inlmath]2/5[/inlmath]. Da bi se njihove hipotenuze nadovezale jedna na drugu taj odnos bi morao biti isti. On to nije, a baš iz razloga što je vrednost [inlmath]2/5[/inlmath] i [inlmath]3/8[/inlmath] prilično bliska na slici je ova različitost skoro neprimetna.

Ne da mi đavo mira, pa to ti je... Evo i dokaza da je površina ovog romboida jednaka površini ovog kvadrata:

Označimo dužu stranicu romboida sa [inlmath]a[/inlmath]. Sa slike vidimo da je njena dužina:
[dispmath]a=\sqrt{8^2+3^2}=\sqrt{73}[/dispmath]
Označimo kraću stranicu romboida sa [inlmath]b[/inlmath]. Sa slike vidimo da je njena dužina:
[dispmath]b=\sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{29}[/dispmath]
Ugao koji stranica [inlmath]a[/inlmath] zaklapa s horizontalom obeležimo sa [inlmath]\alpha[/inlmath]:
[dispmath]\sin\alpha=\frac{3}{\sqrt{73}}[/dispmath]
Ugao koji stranica [inlmath]b[/inlmath] zaklapa s horizontalom obeležimo sa [inlmath]\beta[/inlmath]:
[dispmath]\sin\beta=\frac{2}{\sqrt{29}}[/dispmath]
Njihovu razliku obeležimo sa [inlmath]\varphi[/inlmath]:
[dispmath]\sin\varphi=\sin\left(\beta-\alpha\right)=\sin\beta\cos\alpha-\cos\beta\sin\alpha=\sin\beta\sqrt{1-\sin^2\alpha}-\sin\alpha\sqrt{1-\sin^2\beta}=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{2}{\sqrt{29}}\sqrt{1-\frac{9}{73}}-\frac{3}{\sqrt{73}}\sqrt{1-\frac{4}{29}}=\frac{2}{\sqrt{29}}\sqrt{\frac{64}{73}}-\frac{3}{\sqrt{73}}\sqrt{\frac{25}{29}}=\frac{2\cdot 8}{\sqrt{29}\cdot\sqrt{73}}-\frac{3\cdot 5}{\sqrt{73}\cdot\sqrt{29}}=\frac{1}{\sqrt{73}\cdot\sqrt{29}}[/dispmath]
Visina paralelograma [inlmath]h[/inlmath] iznosi
[dispmath]h=b\sin\varphi[/dispmath]
a površina paralelograma je
[dispmath]P=a\cdot h=ab\sin\varphi=\sqrt{73}\cdot\sqrt{29}\cdot\frac{1}{\sqrt{73}\cdot\sqrt{29}}=1[/dispmath]
što je jednako površini kvadrata.