MATEMANIJA

Slučajno naleteh na ovo simpatično zadače dok sam kopao po nekoj matoroj zbirci zadataka...

Iz koje lokacije na Zemljinoj kugli će putnik, ako krene na jug [inlmath]10\mbox{ km}[/inlmath], pa zatim na istok [inlmath]10\mbox{ km}[/inlmath] i zatim na sever [inlmath]10\mbox{ km}[/inlmath], stići u istu tačku iz koje je i krenuo?

Jedno rešenje je sasvim očigledno – to je Severni pol. Ali, to nije jedino rešenje.

Jedan poznati matematičar je ovako rezonovao. Kad putnik kreće na jug i kad se vraća krećući se ka severu, on putuje po meridijanima. Jedine dve tačke na Zemljinoj kugli u kojima se sustiču dva meridijana su Severni i Južni pol. Pošto ovde putnik kreće iz te tačke ka jugu, a vrača se idući na sever, južni pol kao rešenje otpada, te je severni pol jedino rešenje.

U čemu je greška ovakvog razmišljanja?

Poznat mi je zadatak u verziji gde dotični putnik zatiče medveda, pa se postavlja pitanje koje je boje medved.
Prilično dobar fazon.

Hm, da, ali medved „određene boje“ upućuje na Severni pol, a, kao što napisah, Severni pol nije jedino rešenje.

Naravno, ali u toj drugoj tački (koja je, ako sam dobro razmišljao, nadomak južnog pola) nema medveda.

O tome i govorim. U zadatku s médom automatski je eliminisana oblast bliska Južnom polu, budući da u toj oblasti dotični nije baš česta pojava... Tako da tada ostaje samo Severni pol...

I, mala ispravka... To drugo rešenje nije tačka, već...?

Kako nije tačka? Odnekud mora krenuti.
Dobro, preciznije rečeno skup tačaka, takvih da je njihovo rastojanje od južnog pola [inlmath]\left(10+\frac{5}{ \pi}\right)\mbox{km}[/inlmath].
To je dakle cela jedna kružnica...

Moja konstrukcija kretanja bi bila sledeća - polazna tačka (neka od njih) je na rastojanju od [inlmath]\left(10+\frac{10}{2\pi}\right)\mbox{km}[/inlmath] od južnog pola. Krene na jug [inlmath]10\mbox{ km}[/inlmath], onda opiše krug obima [inlmath]10\mbox{ km}[/inlmath] (a poluprečnika [inlmath]\frac{10}{2\pi}\mbox{km}[/inlmath]) oko južnog pola. Kada pređe tih [inlmath]10\mbox{ km}[/inlmath] na istom je mestu na kom je bio pre početka kretanja na istok. Ostaje mu da se vrati [inlmath]10\mbox{ km}[/inlmath] na sever, i eto ga u polaznoj tački.

To je rešenje. Bravo.

Zanimljiv zadatak. Postoji još jedan način: ako bi obim neke planete po kojoj se krećemo bio jednak [inlmath]10\mbox{ km}[/inlmath], u bilo kom pravcu da krenemo posle tačno [inlmath]10\mbox{ km}[/inlmath] stići ćemo u istu tačku. U slučaju naše planete, trebali bi malo duže da pešačimo.

Da, samo, ako bi obim neke planete (ili, pravilnije rečeno, obim najvećeg kruga neke planete) bio [inlmath]10\;\mathrm{km}[/inlmath], tada ovaj zadatak, kad bi se odnosio na tu planetu, ne bi imao rešenja.

Naime, u tom slučaju ne bi postojala nijedna tačka iz koje bi bilo moguće ići ka jugu [inlmath]10\;\mathrm{km}[/inlmath], jer bismo već za manje od [inlmath]5\;\mathrm{km}[/inlmath] (u zavisnosti od geografske širine s koje smo krenuli) stigli na južni pol, pa bi svaki nastavak putovanja bio – putovanje ka severu. Isto, naravno, važi i u suprotnom smeru.