Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica RAZNO ZANIMLJIVI ZADACI

Koliko godina ima Ana?

  • +2

Re: Koliko godina ima Ana?

Postod Daniel » Utorak, 07. Jul 2015, 17:07

Gamma je napisao:Daniele prosto ne mogu da provalim kako si izvukao ove dvije jednačine iz teksta [inlmath]a-a_1=m-m_1[/inlmath] i [inlmath]m-m_3=a-a_3[/inlmath].

Ako Ana i Marija u ovom trenutku imaju, respektivno, [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]m[/inlmath] godina, a pre [inlmath]x[/inlmath] godina su imale, respektivno, [inlmath]a_1[/inlmath] i [inlmath]m_1[/inlmath] godina, tada je
[dispmath]\left.\begin{array}{l}
a_1=a-x\\
m_1=m-x
\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad\left.\begin{array}{l}
a-a_1=x\\
m-m_1=x
\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad a-a_1=m-m_1=x[/dispmath]
Ako treba skica, reci. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Koliko godina ima Ana?

Postod Gamma » Utorak, 07. Jul 2015, 19:48

Ne treba to mogu sam :ghh:
Kažeš sistem riješiti po [inlmath]a[/inlmath]? Ne znam stvarno kako da ga postavim a da odmah izrazim [inlmath]a[/inlmath]. Ja ga svedem na sistem od dvije jednačine s dvije nepoznate [inlmath]a_2[/inlmath] i [inlmath]a_1[/inlmath]. Pa onda moram sve to vraćati da dobijem [inlmath]a[/inlmath]. A naravno to je malo glupo jer rješenja nisu cjelobrojna.
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta

Re: Koliko godina ima Ana?

Postod desideri » Sreda, 08. Jul 2015, 15:23

@Gamma,
potrebno je (i dovoljno) primeniti Gausov metod eliminacije.
Jeste [inlmath]7[/inlmath] jednačina sa [inlmath]7[/inlmath] nepoznatih, no tebi je potrebna samo nepoznata [inlmath]a[/inlmath], to jest da nađeš koliko to [inlmath]a[/inlmath] iznosi.
Eliminiši [inlmath]m[/inlmath] za početak iz svih Danielovih jednačina ("čuvajući" prvu jednačinu, to je onako školski), potom eliminiši [inlmath]a_1[/inlmath] i tako dalje. Ne vidim šta ima da se vraća unazad, ne traže se svih sedam nepoznatih već samo jedna.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

Re: Koliko godina ima Ana?

Postod Gamma » Sreda, 08. Jul 2015, 16:53

Upravo radio sam preko eliminacije. Mislim da se nismo dobro razumjeli. Kažeš da eliminišem [inlmath]m[/inlmath] iz preostalih [inlmath]6[/inlmath] jednačina? Nije mi to baš najjasnije. Valjda je cilj da od tih [inlmath]6[/inlmath] jednačina dobijem jednu jednačinu u kojoj figuriše [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]m[/inlmath]. Pa sistem od dvije jednačine s dvije nepoznate.
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta

Re: Koliko godina ima Ana?

Postod Daniel » Sreda, 08. Jul 2015, 16:58

Uvrsti [inlmath]\left(6\right)[/inlmath] u [inlmath]\left(7\right)[/inlmath] i izrazi [inlmath]a_3[/inlmath] preko [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]m[/inlmath].
Iz jednačina [inlmath]\left(5\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(6\right)[/inlmath] izrazi [inlmath]a_2[/inlmath] preko [inlmath]a_3[/inlmath].
Zatim, iz dobijenih jednačina izrazi [inlmath]a_2[/inlmath] preko [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]m[/inlmath].
Koristeći prethodno dobijenu jednačinu i jednačinu [inlmath]\left(3\right)[/inlmath], izrazi [inlmath]m_1[/inlmath] preko [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]m[/inlmath], zatim to uvrsti umesto [inlmath]m_1[/inlmath] u jednačinu [inlmath]\left(4\right)[/inlmath].
Iz jednačine [inlmath]\left(2\right)[/inlmath] izrazi [inlmath]a_1[/inlmath] preko [inlmath]m[/inlmath], a zatim to uvrsti u prethodno dobijenu jednačinu.
Time si dobio jednačinu po nepoznatama [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]m[/inlmath]. Ta jednačina i jednačina [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] činiće sistem od dve jednačine s dve nepoznate, [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]m[/inlmath]. Odatle nađi [inlmath]a[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Koliko godina ima Ana?

Postod desideri » Sreda, 08. Jul 2015, 17:21

@Daniel,
tvoj sistem rešavanja ovog sistema jednačina je najbrži i najefikasniji.
No, to je po mišljenju nekih profesora koje znam, sistem "zbrda-zdola".
Ne znam da li bi to tako priznali šabloneri i kvaziautoriteti.
Ja nisam nikada bio zagovornik šablona, no takve stvari (šablonske) traže se po fakultetima.

@Gamma,
uradi ti lepo zadatak i po Danielovoj preporuci i po mojoj, to jest šablonskoj.
Pa postuj.
A ako ti ne ide "šabloneraj", obećavam kompletan postupak.
Šablonski naravno, može da koristi :)
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

Re: Koliko godina ima Ana?

Postod Daniel » Sreda, 08. Jul 2015, 17:28

desideri je napisao:Ne znam da li bi to tako priznali šabloneri i kvaziautoriteti.

To je, nažalost, tužna istina. :(
Ali, ja sam uvek za to da se ljudima pokaže i efikasniji način, koji će biti koristan u životnim situacijama, iako verovatno nekoristan po fakultetima.

Gamma je napisao:Ja ga svedem na sistem od dvije jednačine s dvije nepoznate [inlmath]a_2[/inlmath] i [inlmath]a_1[/inlmath].

Ako si to uradio, šta ti je dalje problem? Nađeš iz tog sistema koliko je [inlmath]a_1[/inlmath], zatim uvrstiš u jednačinu [inlmath]\left(2\right)[/inlmath] i nađeš koliko je [inlmath]m[/inlmath], pa na kraju tu vrednost [inlmath]m[/inlmath] uvrstiš u jednačinu [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] i nađeš koliko je [inlmath]a[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +1

Re: Koliko godina ima Ana?

Postod Gamma » Sreda, 08. Jul 2015, 18:28

Daniel je napisao:Ako si to uradio, šta ti je dalje problem? Nađeš iz tog sistema koliko je [inlmath]a_1[/inlmath], zatim uvrstiš u jednačinu [inlmath]\left(2\right)[/inlmath] i nađeš koliko je [inlmath]m[/inlmath], pa na kraju tu vrednost [inlmath]m[/inlmath] uvrstiš u jednačinu [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] i nađeš koliko je [inlmath]a[/inlmath].

Ne kažem da je problem ali elegantnije je uraditi tako kao ti. Odmah izračunam [inlmath]a[/inlmath] i stanem, jer se samo to traži u zadatku. Glupo mi je kada moram vraćati vrijednosti.

desideri je napisao:Ne znam da li bi to tako priznali šabloneri i kvaziautoriteti.

S ovim si me malo zbunio desideri. Ako možeš malo da mi pojasniš te pojmove. Ne znam da li se ovo odnosi na matrice i determinante. Inače, to se traži na faxu :mrgreen:
Evo ide Danielov način rješavanja, koji meni nikada ne bi pao na pamet. Svaka čast samo me interesuje kako si došao na ideju da ovako jednostavno skratiš posao? Uvijek je bolje raditi što jednostavnije.
[dispmath]a_3=\frac{m-a}{2}[/dispmath][dispmath]a_3=\frac{a_2}{9}[/dispmath][dispmath]a_2=\frac{9}{2}(m-a)[/dispmath][dispmath]m_1=\frac{9}{4}(m-a)[/dispmath][dispmath]\left.a-\frac{m}{2}=m-\frac{9}{4}(m-a)\quad\right/\cdot4[/dispmath][dispmath]4a-2m=4m-9m+9a[/dispmath][dispmath]3m=5a[/dispmath][dispmath]m=\frac{5}{3}a[/dispmath][dispmath]a+\frac{5}{3}a=44[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{a=\frac{33}{2}}[/dispmath]
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta

  • +1

Re: Koliko godina ima Ana?

Postod desideri » Sreda, 08. Jul 2015, 22:08

@Gamma,
i ja sam za to da se radi što jednostavnije. Nego sam imao iskustava da traže (fakultetski profesori ili asistenti) da se radi po šablonima. Zato vam ovo i pričam.
Naravno da je najbrže i najbolje ovako kako je Daniel predložio, a ti uradio :thumbup:
Ja nisam mislio na matrice i determinante, mislio sam na klasiku i na šablone u stilu ovog primera koji je ultralagan:
[dispmath]y=1+x[/dispmath][dispmath]x+z=4[/dispmath][dispmath]z+2y=7[/dispmath]
Iz prve jednačine (tri su sa tri nepoznate) menjam [inlmath]y[/inlmath] u druge dve. Doduše, u drugoj i nemam šta da menjam :)
[dispmath]y=1+x[/dispmath][dispmath]x+z=4[/dispmath][dispmath]z+2x=5[/dispmath]
Iz druge jednačine stavljam da je [inlmath]z=4-x[/inlmath] u treću jednačinu, mada sam mogao i obrnuto, svi šabloneri to priznaju:
[dispmath]y=1+x[/dispmath][dispmath]x+z=4[/dispmath][dispmath]x=1[/dispmath]
Vraćanjem [inlmath]x=1[/inlmath] u prethodnu, to jest drugu jednačinu, dobija se [inlmath]z=3[/inlmath].
Povratkom na prvu jednačinu dobijam [inlmath]y=2[/inlmath].
Možda ovaj moj (iskonstruisan) primer deluje banalno, lagano, no bitno je uočiti šablonski sistem. Sistem eliminacije.
Hajde, molim te, kada si ovako lepo uradio zadatak na najbrži i najefikasniji način, uradi ga i na ovaj šablonski, smatrajući da je nepoznata [inlmath]a[/inlmath] zapravo isto što i [inlmath]x[/inlmath] u mom primeru. A vraćanja i računanja vrednosti drugih promenljivih su nepotrebna, kao i matrice i determinante. Može i tako, ali je po mom mišljenju bespotrebno.
Naravno, mogu se uvek ispremeštati jednačine, ne mora ona prva odozgo biti stvarno prva itd.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

  • +2

Re: Koliko godina ima Ana?

Postod Daniel » Četvrtak, 09. Jul 2015, 11:23

Gamma je napisao:samo me interesuje kako si došao na ideju da ovako jednostavno skratiš posao?

Pa, gledaš malo. Uočiš, recimo, da se [inlmath]m_3[/inlmath] pojavljuje samo u jednačinama [inlmath]\left(5\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(6\right)[/inlmath] i nigde drugde. Znači, te dve jednačine odmah možeš spojiti u jednu, [inlmath]a_2=9a_3[/inlmath], a pošto u njoj nema nepoznate [inlmath]m_3[/inlmath], jednu nepoznatu si time već eliminisao. Isto tako uočiš i da se nepoznata [inlmath]a_3[/inlmath] pojavljuje samo u jednačinama [inlmath]\left(6\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(7\right)[/inlmath] i nigde više itd...
Kada bi napisao matricu ovog sistema, ona bi bila najvećim delom sastavljena od nula, tek ponegde bi se pojavio poneki broj različit od nule. Zato i mislim da bi rešavati ovakav sistem nekom od šablonskih metoda bilo isto kao i puškomitraljezom ubijati muve. :)

Ne bih se složio da je ovaj način koji sam pokazao „zbrda-zdola“, ali se svakako slažem da nije šablonski. Matematika, uostalom, i ne bi bila tako zanimljiva kao što jeste, kada bi se sve radilo po nekakvim šablonima. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

PrethodnaSledeća

Povratak na ZANIMLJIVI ZADACI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 37 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 13:40 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs