Koliko godina ima Ana?

PostPoslato: Nedelja, 05. Jul 2015, 11:12
od bobanex
Ana i Marija imaju zajedno [inlmath]44[/inlmath] godine. Marija je dva puta toliko stara koliko je Ana bila kada je Marija bila upola toliko stara koliko će Ana biti, kada Ana bude bila tri puta toliko stara koliko je Marija bila, kada je Marija bila tri puta toliko stara kao Ana. Koliko godina ima Ana?

Re: Koliko godina ima Ana?

PostPoslato: Nedelja, 05. Jul 2015, 11:13
od bobanex
Mozda nije zanimljiv ali je zato konfuzan :)

Re: Koliko godina ima Ana?

PostPoslato: Nedelja, 05. Jul 2015, 11:29
od desideri
Jeste zanimljiv, no postoji mogućnost da zaboli glava od razmišljanja o tome šta je sastavljač zadatka sve rekao :)
p.s. Zašto dve iste teme? Nisam video razliku ni u naslovu ni u tekstu zadatka. Ako je greška, da obrišem jednu?

Re: Koliko godina ima Ana?

PostPoslato: Nedelja, 05. Jul 2015, 12:05
od Daniel
Upravo jeste zanimljiv zato što je konfuzan. :) U redu je da bude konfuzan ako je nedvosmislen, tada je zaista uživancija tražiti rešenje. :) Ali, ovaj poslednji deo rečenice može da se shvati na dva načina:
bobanex je napisao:kada je Marija bila tri puta toliko stara kao Ana.

Triput stara koliko je Ana bila tada, ili triput stara koliko je Ana sada?


P.S. Dve iste teme su očigledno greška, uklonio sam onu drugu.

Re: Koliko godina ima Ana?

PostPoslato: Nedelja, 05. Jul 2015, 12:25
od bobanex
Nemoj me pitati za pojasnjenje jer ni meni nije jasno :)
Ubedjen sam da je to moglo i bolje da se sroci.
Slucajno sam duplirao teme.
U pitanju je zadatak sa prijemnog ispita na Fizičkom fakultetu u Beogradu 2013.
Oni tvrde da je rešenje [inlmath]16,5[/inlmath].

Re: Koliko godina ima Ana?

PostPoslato: Nedelja, 05. Jul 2015, 13:29
od desideri
Ih, [inlmath]16,5[/inlmath].
Bio sam ubeđen da je rešenje celobrojno, to jest u skupu prirodnih brojeva. I tu sam ga tražio. Džabe sam krečio :D
bobanex je napisao:kada je Marija bila tri puta toliko stara kao Ana

Zbog ovog "bila" ja mislim da je tada.

Re: Koliko godina ima Ana?

PostPoslato: Nedelja, 05. Jul 2015, 15:48
od Daniel
Pa, imaš npr. deo rečenice
bobanex je napisao:... kada je Marija bila upola toliko stara koliko će Ana biti,

po kojem se vidi da vremena za Mariju i Anu ne moraju biti ista. :) Tako da, poslednji deo rečenice ipak jeste dvosmislen.

Međutim, uvrštavanjem gotovog rešenja koje je Bobanex dao, zaista sam došao do toga da ovaj poslednji deo rečenice treba da glasi „... kada je Marija bila tri puta toliko stara kao što je Ana bila tada.“ Znači, kao što si i napisao.

Re: Koliko godina ima Ana?

PostPoslato: Nedelja, 05. Jul 2015, 22:20
od Daniel
Pošto se niko ne javlja, evo jednačina koje bih ja postavio ([inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]m[/inlmath] su sadašnji brojevi Aninih i Marijinih godina respektivno, a [inlmath]a_1,m_1,a_2,m_2,a_3,m_3[/inlmath] brojevi njihovih godina u raznim vremenskim trenucima).

bobanex je napisao:Ana i Marija imaju zajedno [inlmath]44[/inlmath] godine.

[dispmath]a+m=44\quad\left(1\right)[/dispmath]
bobanex je napisao:Marija je dva puta toliko stara koliko je Ana bila

[dispmath]m=2a_1\quad\left(2\right)[/dispmath]
bobanex je napisao:kada je Marija bila upola toliko stara koliko će Ana biti,

[dispmath]\begin{array}{cl}
m_1=\frac{1}{2}a_2 & \left(3\right)\\
a-a_1=m-m_1 & \left(4\right)
\end{array}[/dispmath]
bobanex je napisao:kada Ana bude bila tri puta toliko stara koliko je Marija bila,

[dispmath]a_2=3m_3\quad\left(5\right)[/dispmath]
bobanex je napisao:kada je Marija bila tri puta toliko stara kao Ana.

[dispmath]\begin{array}{cl}
m_3=3a_3 & \left(6\right)\\
m-m_3=a-a_3 & \left(7\right)
\end{array}[/dispmath]
Sistem od sedam jednačina sa sedam nepoznatih. Malo se sredi i reši se po [inlmath]a[/inlmath]...

Re: Koliko godina ima Ana?

PostPoslato: Ponedeljak, 06. Jul 2015, 10:07
od Daniel
I, ne bi bilo na odmet, posle dobijenog rezultata [inlmath]a=\frac{33}{2}[/inlmath], proveriti još i da li je dobijeni rezultat u saglasnosti s vremenima upotrebljenim u rečenicama:
bobanex je napisao:koliko je Ana bila kada je Marija bila upola toliko stara

[dispmath]\Rightarrow\quad a_1<a,\quad m_1<m[/dispmath]
bobanex je napisao:koliko će Ana biti, kada Ana bude bila tri puta toliko stara

[dispmath]\Rightarrow\quad a_2>a,\quad m_2>m[/dispmath]
bobanex je napisao:koliko je Marija bila, kada je Marija bila tri puta toliko stara kao Ana.

[dispmath]\Rightarrow\quad a_3<a,\quad m_3<m[/dispmath]
Nalaženjem vrednosti za sve ove nepoznate dobija se da ove nejednakosti jesu zadovoljene.

Re: Koliko godina ima Ana?

PostPoslato: Ponedeljak, 06. Jul 2015, 21:33
od Gamma
Zadatak je veoma konfuzan. Daniele prosto ne mogu da provalim kako si izvukao ove dvije jednačine iz teksta [inlmath]a-a_1=m-m_1[/inlmath] i [inlmath]m-m_3=a-a_3[/inlmath]. Vjerovatno je tu ključna riječ kada ali ponovo ne mogu to najbolje da povežem.

Re: Koliko godina ima Ana?

PostPoslato: Utorak, 07. Jul 2015, 17:07
od Daniel
Gamma je napisao:Daniele prosto ne mogu da provalim kako si izvukao ove dvije jednačine iz teksta [inlmath]a-a_1=m-m_1[/inlmath] i [inlmath]m-m_3=a-a_3[/inlmath].

Ako Ana i Marija u ovom trenutku imaju, respektivno, [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]m[/inlmath] godina, a pre [inlmath]x[/inlmath] godina su imale, respektivno, [inlmath]a_1[/inlmath] i [inlmath]m_1[/inlmath] godina, tada je
[dispmath]\left.\begin{array}{l}
a_1=a-x\\
m_1=m-x
\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad\left.\begin{array}{l}
a-a_1=x\\
m-m_1=x
\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad a-a_1=m-m_1=x[/dispmath]
Ako treba skica, reci. :)

Re: Koliko godina ima Ana?

PostPoslato: Utorak, 07. Jul 2015, 19:48
od Gamma
Ne treba to mogu sam :ghh:
Kažeš sistem riješiti po [inlmath]a[/inlmath]? Ne znam stvarno kako da ga postavim a da odmah izrazim [inlmath]a[/inlmath]. Ja ga svedem na sistem od dvije jednačine s dvije nepoznate [inlmath]a_2[/inlmath] i [inlmath]a_1[/inlmath]. Pa onda moram sve to vraćati da dobijem [inlmath]a[/inlmath]. A naravno to je malo glupo jer rješenja nisu cjelobrojna.

Re: Koliko godina ima Ana?

PostPoslato: Sreda, 08. Jul 2015, 15:23
od desideri
@Gamma,
potrebno je (i dovoljno) primeniti Gausov metod eliminacije.
Jeste [inlmath]7[/inlmath] jednačina sa [inlmath]7[/inlmath] nepoznatih, no tebi je potrebna samo nepoznata [inlmath]a[/inlmath], to jest da nađeš koliko to [inlmath]a[/inlmath] iznosi.
Eliminiši [inlmath]m[/inlmath] za početak iz svih Danielovih jednačina ("čuvajući" prvu jednačinu, to je onako školski), potom eliminiši [inlmath]a_1[/inlmath] i tako dalje. Ne vidim šta ima da se vraća unazad, ne traže se svih sedam nepoznatih već samo jedna.

Re: Koliko godina ima Ana?

PostPoslato: Sreda, 08. Jul 2015, 16:53
od Gamma
Upravo radio sam preko eliminacije. Mislim da se nismo dobro razumjeli. Kažeš da eliminišem [inlmath]m[/inlmath] iz preostalih [inlmath]6[/inlmath] jednačina? Nije mi to baš najjasnije. Valjda je cilj da od tih [inlmath]6[/inlmath] jednačina dobijem jednu jednačinu u kojoj figuriše [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]m[/inlmath]. Pa sistem od dvije jednačine s dvije nepoznate.

Re: Koliko godina ima Ana?

PostPoslato: Sreda, 08. Jul 2015, 16:58
od Daniel
Uvrsti [inlmath]\left(6\right)[/inlmath] u [inlmath]\left(7\right)[/inlmath] i izrazi [inlmath]a_3[/inlmath] preko [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]m[/inlmath].
Iz jednačina [inlmath]\left(5\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(6\right)[/inlmath] izrazi [inlmath]a_2[/inlmath] preko [inlmath]a_3[/inlmath].
Zatim, iz dobijenih jednačina izrazi [inlmath]a_2[/inlmath] preko [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]m[/inlmath].
Koristeći prethodno dobijenu jednačinu i jednačinu [inlmath]\left(3\right)[/inlmath], izrazi [inlmath]m_1[/inlmath] preko [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]m[/inlmath], zatim to uvrsti umesto [inlmath]m_1[/inlmath] u jednačinu [inlmath]\left(4\right)[/inlmath].
Iz jednačine [inlmath]\left(2\right)[/inlmath] izrazi [inlmath]a_1[/inlmath] preko [inlmath]m[/inlmath], a zatim to uvrsti u prethodno dobijenu jednačinu.
Time si dobio jednačinu po nepoznatama [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]m[/inlmath]. Ta jednačina i jednačina [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] činiće sistem od dve jednačine s dve nepoznate, [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]m[/inlmath]. Odatle nađi [inlmath]a[/inlmath].

Re: Koliko godina ima Ana?

PostPoslato: Sreda, 08. Jul 2015, 17:21
od desideri
@Daniel,
tvoj sistem rešavanja ovog sistema jednačina je najbrži i najefikasniji.
No, to je po mišljenju nekih profesora koje znam, sistem "zbrda-zdola".
Ne znam da li bi to tako priznali šabloneri i kvaziautoriteti.
Ja nisam nikada bio zagovornik šablona, no takve stvari (šablonske) traže se po fakultetima.

@Gamma,
uradi ti lepo zadatak i po Danielovoj preporuci i po mojoj, to jest šablonskoj.
Pa postuj.
A ako ti ne ide "šabloneraj", obećavam kompletan postupak.
Šablonski naravno, može da koristi :)

Re: Koliko godina ima Ana?

PostPoslato: Sreda, 08. Jul 2015, 17:28
od Daniel
desideri je napisao:Ne znam da li bi to tako priznali šabloneri i kvaziautoriteti.

To je, nažalost, tužna istina. :(
Ali, ja sam uvek za to da se ljudima pokaže i efikasniji način, koji će biti koristan u životnim situacijama, iako verovatno nekoristan po fakultetima.

Gamma je napisao:Ja ga svedem na sistem od dvije jednačine s dvije nepoznate [inlmath]a_2[/inlmath] i [inlmath]a_1[/inlmath].

Ako si to uradio, šta ti je dalje problem? Nađeš iz tog sistema koliko je [inlmath]a_1[/inlmath], zatim uvrstiš u jednačinu [inlmath]\left(2\right)[/inlmath] i nađeš koliko je [inlmath]m[/inlmath], pa na kraju tu vrednost [inlmath]m[/inlmath] uvrstiš u jednačinu [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] i nađeš koliko je [inlmath]a[/inlmath].

Re: Koliko godina ima Ana?

PostPoslato: Sreda, 08. Jul 2015, 18:28
od Gamma
Daniel je napisao:Ako si to uradio, šta ti je dalje problem? Nađeš iz tog sistema koliko je [inlmath]a_1[/inlmath], zatim uvrstiš u jednačinu [inlmath]\left(2\right)[/inlmath] i nađeš koliko je [inlmath]m[/inlmath], pa na kraju tu vrednost [inlmath]m[/inlmath] uvrstiš u jednačinu [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] i nađeš koliko je [inlmath]a[/inlmath].

Ne kažem da je problem ali elegantnije je uraditi tako kao ti. Odmah izračunam [inlmath]a[/inlmath] i stanem, jer se samo to traži u zadatku. Glupo mi je kada moram vraćati vrijednosti.

desideri je napisao:Ne znam da li bi to tako priznali šabloneri i kvaziautoriteti.

S ovim si me malo zbunio desideri. Ako možeš malo da mi pojasniš te pojmove. Ne znam da li se ovo odnosi na matrice i determinante. Inače, to se traži na faxu :mrgreen:
Evo ide Danielov način rješavanja, koji meni nikada ne bi pao na pamet. Svaka čast samo me interesuje kako si došao na ideju da ovako jednostavno skratiš posao? Uvijek je bolje raditi što jednostavnije.
[dispmath]a_3=\frac{m-a}{2}[/dispmath][dispmath]a_3=\frac{a_2}{9}[/dispmath][dispmath]a_2=\frac{9}{2}(m-a)[/dispmath][dispmath]m_1=\frac{9}{4}(m-a)[/dispmath][dispmath]\left.a-\frac{m}{2}=m-\frac{9}{4}(m-a)\quad\right/\cdot4[/dispmath][dispmath]4a-2m=4m-9m+9a[/dispmath][dispmath]3m=5a[/dispmath][dispmath]m=\frac{5}{3}a[/dispmath][dispmath]a+\frac{5}{3}a=44[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{a=\frac{33}{2}}[/dispmath]

Re: Koliko godina ima Ana?

PostPoslato: Sreda, 08. Jul 2015, 22:08
od desideri
@Gamma,
i ja sam za to da se radi što jednostavnije. Nego sam imao iskustava da traže (fakultetski profesori ili asistenti) da se radi po šablonima. Zato vam ovo i pričam.
Naravno da je najbrže i najbolje ovako kako je Daniel predložio, a ti uradio :thumbup:
Ja nisam mislio na matrice i determinante, mislio sam na klasiku i na šablone u stilu ovog primera koji je ultralagan:
[dispmath]y=1+x[/dispmath][dispmath]x+z=4[/dispmath][dispmath]z+2y=7[/dispmath]
Iz prve jednačine (tri su sa tri nepoznate) menjam [inlmath]y[/inlmath] u druge dve. Doduše, u drugoj i nemam šta da menjam :)
[dispmath]y=1+x[/dispmath][dispmath]x+z=4[/dispmath][dispmath]z+2x=5[/dispmath]
Iz druge jednačine stavljam da je [inlmath]z=4-x[/inlmath] u treću jednačinu, mada sam mogao i obrnuto, svi šabloneri to priznaju:
[dispmath]y=1+x[/dispmath][dispmath]x+z=4[/dispmath][dispmath]x=1[/dispmath]
Vraćanjem [inlmath]x=1[/inlmath] u prethodnu, to jest drugu jednačinu, dobija se [inlmath]z=3[/inlmath].
Povratkom na prvu jednačinu dobijam [inlmath]y=2[/inlmath].
Možda ovaj moj (iskonstruisan) primer deluje banalno, lagano, no bitno je uočiti šablonski sistem. Sistem eliminacije.
Hajde, molim te, kada si ovako lepo uradio zadatak na najbrži i najefikasniji način, uradi ga i na ovaj šablonski, smatrajući da je nepoznata [inlmath]a[/inlmath] zapravo isto što i [inlmath]x[/inlmath] u mom primeru. A vraćanja i računanja vrednosti drugih promenljivih su nepotrebna, kao i matrice i determinante. Može i tako, ali je po mom mišljenju bespotrebno.
Naravno, mogu se uvek ispremeštati jednačine, ne mora ona prva odozgo biti stvarno prva itd.

Re: Koliko godina ima Ana?

PostPoslato: Četvrtak, 09. Jul 2015, 11:23
od Daniel
Gamma je napisao:samo me interesuje kako si došao na ideju da ovako jednostavno skratiš posao?

Pa, gledaš malo. Uočiš, recimo, da se [inlmath]m_3[/inlmath] pojavljuje samo u jednačinama [inlmath]\left(5\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(6\right)[/inlmath] i nigde drugde. Znači, te dve jednačine odmah možeš spojiti u jednu, [inlmath]a_2=9a_3[/inlmath], a pošto u njoj nema nepoznate [inlmath]m_3[/inlmath], jednu nepoznatu si time već eliminisao. Isto tako uočiš i da se nepoznata [inlmath]a_3[/inlmath] pojavljuje samo u jednačinama [inlmath]\left(6\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(7\right)[/inlmath] i nigde više itd...
Kada bi napisao matricu ovog sistema, ona bi bila najvećim delom sastavljena od nula, tek ponegde bi se pojavio poneki broj različit od nule. Zato i mislim da bi rešavati ovakav sistem nekom od šablonskih metoda bilo isto kao i puškomitraljezom ubijati muve. :)

Ne bih se složio da je ovaj način koji sam pokazao „zbrda-zdola“, ali se svakako slažem da nije šablonski. Matematika, uostalom, i ne bi bila tako zanimljiva kao što jeste, kada bi se sve radilo po nekakvim šablonima. :)

Re: Koliko godina ima Ana?

PostPoslato: Četvrtak, 09. Jul 2015, 11:47
od Gamma
@desideri
S ovim šablonima se susrećem prvi put. Mi to u srednjoj školi nismo spominjali. Samo smo radili Gausovu metodu i Kramerova pravila. Vidim dao si mi ti neko objašnjenje za te šablone ali ponovo ne mogu da to baš najbolje povežem. Ima li gdje kakv link malo uopšteno o tim šablonima jer ne znam ni šta oni predstavljaju.

Re: Koliko godina ima Ana?

PostPoslato: Četvrtak, 09. Jul 2015, 12:17
od desideri
@Gamma,
ja sam veliki protivnik šablona. Mišljenja sam da uvek treba razmišljati svojom glavom a originalno rešenje zadatka mi je pet puta draže od šablonskog.
Ovaj šablon koji sam pokazao na primeru zapravo je modifikacija Gausovog sistema. Koliko mi je poznato, na dosta fakulteta asistenti tako drže vežbe a profesori predaju.
Valjda im je tako lakše kada to posle ispita pregledaju :)
No, isto tako postoje i profesori koji podržavaju originalnost i kreativnost. :thumbup:
Naravno da ću ja napisati i taj šablon, obećao sam. No, to nije ništa novo, čista i striktna primena Gausove metode, koju si i ti pomenuo.
p.s. Matematički svet se deli na razumne ljude koji prihvataju šablone i nerazumne koji se bore protiv šablona. Zahvaljujući ovim nerazumnim, matematika je napredovala kroz protekle milenijume :D

Re: Koliko godina ima Ana?

PostPoslato: Petak, 10. Jul 2015, 23:43
od Gamma
Evo desideri da ne ostajem dužan ide taj šabloneraj :mrgreen: Ja sam ovako radio pa šta ti misliš :?: Malo je duže ali neka i to imamo.
[dispmath]a+m=44[/dispmath][dispmath]m=2a_1[/dispmath][dispmath]m_1=\frac{1}{2}a_2[/dispmath][dispmath]a-a_1=m-m_1[/dispmath][dispmath]a_2=3m_3[/dispmath][dispmath]m_3=3a_3[/dispmath][dispmath]m-m_3=a-a_3[/dispmath]
[dispmath]m=44-a[/dispmath][dispmath]44-a=2a_1[/dispmath][dispmath]m_1=\frac{1}{2}a_2[/dispmath][dispmath]a-a_1=44-a-m_1[/dispmath][dispmath]a_2=3m_3[/dispmath][dispmath]m_3=3a_3[/dispmath][dispmath]44-a-m_3=a-a_3[/dispmath]
[dispmath]a_1=\frac{44-a}{2}[/dispmath][dispmath]m_1=\frac{1}{2}a_2[/dispmath][dispmath]a-\frac{44-a}{2}=44-a-m_1[/dispmath][dispmath]a_2=3m_3[/dispmath][dispmath]m_3=3a_3[/dispmath][dispmath]44-a-m_3=a-a_3[/dispmath]
[dispmath]a_2=2m_1[/dispmath][dispmath]a-22+\frac{a}{2}=44-a-m_1[/dispmath][dispmath]2m_1=3m_3[/dispmath][dispmath]m_3=3a_3[/dispmath][dispmath]44-a-m_3=a-a_3[/dispmath]
[dispmath]m_1=66-\frac{5}{2}a[/dispmath][dispmath]132-5a=3m_3[/dispmath][dispmath]m_3=3a_3[/dispmath][dispmath]44-a-m_3=a-a_3[/dispmath]
[dispmath]m_3=\frac{132-5a}{3}[/dispmath][dispmath]\frac{132-5a}{3}=3a_3[/dispmath][dispmath]44-a-\frac{132-5a}{3}=a-a_3[/dispmath]
[dispmath]a_3=\frac{132-5a}{9}[/dispmath][dispmath]\left.44-a-\frac{132-5a}{3}=a-\frac{132-5a}{9}\quad\right/\cdot9[/dispmath]
[dispmath]\cancel{396}-9a-\cancel{396}+15a=9a-132+5a[/dispmath][dispmath]8a=132[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{a=\frac{33}{2}}[/dispmath]

Re: Koliko godina ima Ana?

PostPoslato: Subota, 11. Jul 2015, 10:34
od desideri
Da, to je to. I u pravu si, neka imamo i to, iako smo se svi složili da je postupak koji je Daniel predložio (i dao uputstvo) a ti realizovao kudikamo brži, a po meni i elegantniji.