MATEMANIJA

Svojevremeno sam započeo seriju tema kroz koje sam kroz zanimljive primere želeo da ilustrujem pojedine finese iz raznih oblasti matematike. Napokon se vraćam toj ideji, i postavljam novi zanimljiv zadatak.

Integral [inlmath]I=\int\frac{1}{x}\mathrm dx[/inlmath] svakako poznajete kao tablični. Tablični integral bi u ovom slučaju bio [inlmath]\int\frac{1}{x}\mathrm dx=\ln|x|+C[/inlmath]

Međutim, šta se desi ako u ovom slučaju primenimo parcijalnu integraciju, stavljajući da je [inlmath]u=\frac{1}{x}[/inlmath] i [inlmath]\mathrm dv=\mathrm dx[/inlmath]
Otuda je [inlmath]\mathrm du=-\frac{1}{x^2}\mathrm dx[/inlmath], i [inlmath]v=x[/inlmath]

Iz formule
[dispmath]\int u\mathrm dv=uv-\int v\mathrm du[/dispmath]
Dobija se:
[dispmath]I=\int\frac{1}{x}\mathrm dx=\frac{1}{x}\cdot x-\int-\frac{1}{x}\mathrm dx[/dispmath][dispmath]I=\int\frac{1}{x}\mathrm dx=1+\int\frac{1}{x}\mathrm dx[/dispmath][dispmath]I=1+I[/dispmath][dispmath]0=1[/dispmath]
Kako biste ovo objasnili?

LIKE! Konačno da vidim i jedan „dokaz“ da je [inlmath]0=1[/inlmath] koji se ne svodi na skraćivanje izraza jednakih nuli.

Za trenutak sam se zaista bio zaprepastio kad sam video rezultat [inlmath]0=1[/inlmath], ali zapravo je vrlo lako pronaći „grešku“... Samo treba poznavati suštinu neodređenih integrala.

Daniel je brzo shvatio o čemu je reč. No dobro, neka i drugi pokušaju da otkriju o čemu se tačno radi.

Tema se inače ne završava na razrešenju navedenog problema, čim se odgovori na ovo, postaviću sledeće pitanje u vezi sa navedenim postupkom.

Moram priznati da ne uočavam o čemu se radi Čekamo odgovor

OK, pokušaću da uputim na odgovor a da pri tom, opet, ne otkrijem baš sve, kako ne bih kvario zabavu.
Kao rezultat neodređene integracije ne dobijamo tačno jednu, određenu, funkciju (zato ta integracija i jeste neodređena), već dobijamo više funkcija, ili, bolje reći, beskonačno mnogo funkcija. Međutim, između svih tih funkcija postoji međusobna veza. Koja je to veza u pitanju?

Da li je stvar u aditivnoj konstanti? Mislim, stvar mora biti u aditivnoj konstanti zato što neodređenom integracijom primitivne funkcije dobijamo funkciju koja je određena do na aditivnu konstantu.

^ Bravo!