Odrediti [dispmath]\left(\frac{x}{y}\right)^{-1},[/dispmath]gdje je [inlmath](x,y)[/inlmath] rješenje sistema:
[dispmath]2x^2+xy-2x-y=5[/dispmath] [dispmath]2x^2-3xy-2x+3y=1.[/dispmath]

Sistem je ekvivalentan sistemu:
[dispmath](x-1)(2x+y)=5[/dispmath]
[dispmath](x-1)(2x-3y)=1[/dispmath]
Deobom jednačina:
[dispmath]\frac{2x+y}{2x-3y}=5[/dispmath]
Deobom i imenioca i brojioca sa [inlmath]x[/inlmath]:
[dispmath]\frac{2+\frac{y}{x}}{2-3\frac{y}{x}}=5[/dispmath]
Smenom [inlmath]\frac{y}{x}=t[/inlmath],
[inlmath]\frac{2+t}{2-3t}=5[/inlmath], tj. [inlmath]2+t = 10-15t[/inlmath], [inlmath]t=\frac{1}{2}[/inlmath]

Pozdrav - izvoli
[dispmath]2x^2+xy-2x-y=5[/dispmath]
[dispmath]2x^2-3xy-2x+3y=1[/dispmath]
prvu jednacinu mnozimo sa [inlmath]-1[/inlmath] pa sledi
[dispmath]-2x^2-xy+2x+y=-5[/dispmath]
[dispmath]2x^2-3xy-2x+3y=1[/dispmath]
zatim sabiramo prvu i drugu jednacinu pa sledi
[dispmath]-4xy+4y=-4[/dispmath]
zatim delimo jednacinu sa [inlmath]-4[/inlmath] i dobijamo
[dispmath]xy-y=1[/dispmath]
[dispmath]xy=1+y[/dispmath]
pa zatim delimo jednacinu sa [inlmath]y[/inlmath] i dobijamo
[dispmath]x=\frac{1+y}{y}[/dispmath]
ovako dobijen [inlmath]x[/inlmath] zamenjujemo u prvu jednacinu (sa pocetka zadatka) i dobijamo
[dispmath]2\cdot\left(\frac{1+y}{y}\right)^2+\frac{1+y}{y}\cdot y-2\cdot\left(\frac{1+y}{y}\right)-y=5[/dispmath]
[dispmath]2\cdot\frac{1+2y+y^2}{y^2}+1+y-\frac{2-2y}{y}-y=5[/dispmath]
zatim mnozimo jednacinu sa [inlmath]y^2[/inlmath] pa sledi
[dispmath]2+4y+2y^2+y^2+y^3-2y-2y^2-y^3=5y^2[/dispmath]
kada skratimo sve sto moze da se skrati dobijamo
[dispmath]-4y^2+2y+2=0[/dispmath]
zatim delimo jednacinu sa [inlmath]-2[/inlmath] pa sledi
[dispmath]2y^2-y-1=0[/dispmath]
dobili smo kvadratnu jednacinu koju resavamo na sledeci nacin
[dispmath]y_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{4}[/dispmath]
i dobijamo da su
[dispmath]y_1=1[/dispmath]
[dispmath]y_2=-\frac{1}{2}[/dispmath]
zatim racunamo [inlmath]x[/inlmath]
[dispmath]x=\frac{1+y}{y}[/dispmath] pa sledi da je
[dispmath]x_1=\frac{1+1}{1}[/dispmath] tj.
[dispmath]x_1=2[/dispmath]
a [inlmath]x_2[/inlmath] sledi da je
[dispmath]x=\frac{1+y}{y}[/dispmath] pa sledi da je
[dispmath]x_2=\frac{1-\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}}[/dispmath] tj.
[dispmath]x_2=-1[/dispmath]
U zadatku se trazi [inlmath]\left(\frac{x}{y}\right)^{-1}[/inlmath]

pa sledi
[dispmath]\left(\frac{x}{y}\right)^{-1}=\left(\frac{2}{1}\right)^{-1}=\frac{1}{2}[/dispmath]
ovde smo koristili [inlmath]x_1;y_1[/inlmath]

ako koristimo [inlmath]x_2;y_2[/inlmath]

onda opet dobijamo [dispmath]\frac{1}{2}[/dispmath] kao konacno resenje

p.s. preduhitrio me kolega milovan

Nema veze, forzajuve, neka te preduhitrio, super je što ovako mogu da se vide dva različita postupka za rešavanje ovog sistema.

A evo sad i mog, trećeg načina.

Oduzmemo od prve jednačine drugu i dobijamo:
[dispmath]4xy-4y=4\quad /\; :4[/dispmath][dispmath]xy-y=1[/dispmath][dispmath]y\left(x-1\right)=1\qquad\left(1\right)[/dispmath](Dovde je, dakle, isto kao što je i forzajuve radio.)

E sad prvu jednačinu množimo sa [inlmath]3[/inlmath], dodajemo drugoj i dobijamo:
[dispmath]8x^2-8x=16\quad /\; :8[/dispmath][dispmath]x^2-x=2[/dispmath][dispmath]x\left(x-1\right)=2\qquad\left(2\right)[/dispmath]Sada podelimo jednaćinu [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] jednačinom [inlmath]\left(2\right)[/inlmath] i dobijamo:[dispmath]\frac{y\left(x-1\right)}{x\left(x-1\right)}=\frac{1}{2}[/dispmath]Pošto su desne strane jednačina [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(2\right)[/inlmath] različite od nule, znači da i faktor [inlmath]\left(x-1\right)[/inlmath] mora biti različit od nule, tako da taj faktor smemo skratiti:
[dispmath]\frac{y}{x}=\frac{1}{2}[/dispmath]tj.[dispmath]\left(\frac{x}{y}\right)^{-1}=\frac{1}{2}[/dispmath]

Hvala vam svima,,svaka cast