[dispmath]\left.\sqrt[3]{9-\sqrt{x+1}}+\sqrt[3]{7+\sqrt{x+1}}=4\quad\right/^3[/dispmath]
[dispmath]\left(\sqrt[3]{9-\sqrt{x+1}}+\sqrt[3]{7+\sqrt{x+1}}\right)^2\cdot\left(\sqrt[3]{9-\sqrt{x+1}}+\sqrt[3]{7+\sqrt{x+1}}\right)=64[/dispmath]
[dispmath]\left(\sqrt[3]{\left(9-\sqrt{x+1}\right)^2}+2\sqrt[3]{\left(9-\sqrt{x+1}\right)\left(7+\sqrt{x+1}\right)}+\sqrt[3]{\left(7+\sqrt{x+1}\right)^2}\right)\cdot\\
\cdot\left(\sqrt[3]{9-\sqrt{x+1}}+\sqrt[3]{7+\sqrt{x+1}}\right)=64[/dispmath]
[dispmath]9-\cancel{\sqrt{x+1}}+\sqrt[3]{\left(9-\sqrt{x+1}\right)^2\left(7+\sqrt{x+1}\right)}+2\sqrt[3]{\left(9-\sqrt{x+1}\right)^2\left(7+\sqrt{x+1}\right)}+\\
+2\sqrt[3]{\left(9-\sqrt{x+1}\right)\left(7+\sqrt{x+1}\right)^2}+\sqrt[3]{\left(9-\sqrt{x+1}\right)\left(7+\sqrt{x+1}\right)^2}+7+\cancel{\sqrt{x+1}}=64[/dispmath]
[dispmath]\sqrt[3]{\left(9-\sqrt{x+1}\right)^2\left(7+\sqrt{x+1}\right)}+2\sqrt[3]{\left(9-\sqrt{x+1}\right)^2\left(7+\sqrt{x+1}\right)}+\\
+2\sqrt[3]{\left(9-\sqrt{x+1}\right)\left(7+\sqrt{x+1}\right)^2}+\sqrt[3]{\left(9-\sqrt{x+1}\right)\left(7+\sqrt{x+1}\right)^2}=48[/dispmath]
[dispmath]\left.3\sqrt[3]{\left(9-\sqrt{x+1}\right)^2\left(7+\sqrt{x+1}\right)}+3\sqrt[3]{\left(9-\sqrt{x+1}\right)\left(7+\sqrt{x+1}\right)^2}=48\quad\right/:3[/dispmath]
[dispmath]\sqrt[3]{\left(9-\sqrt{x+1}\right)^2\left(7+\sqrt{x+1}\right)}+\sqrt[3]{\left(9-\sqrt{x+1}\right)\left(7+\sqrt{x+1}\right)^2}=16[/dispmath]
[dispmath]\sqrt[3]{\left(9-\sqrt{x+1}\right)\left(7+\sqrt{x+1}\right)}\left(\sqrt[3]{\left(9-\sqrt{x+1}\right)}+\sqrt[3]{7+\sqrt{x+1}}\right)=16[/dispmath]
Šta mi je činiti?

Možeš da nastaviš ovo što radiš tako što iskoristiš polaznu jednakost:
[dispmath]\sqrt[3]{9-\sqrt{x+1}}+\sqrt[3]{7+\sqrt{x+1}}=4[/dispmath]
To onda daje:
[dispmath]\sqrt[3]{\left(9-\sqrt{x+1}\right)\left(7+\sqrt{x+1}\right)}\left(\sqrt[3]{\left(9-\sqrt{x+1}\right)}+\sqrt[3]{7+\sqrt{x+1}}\right)=16[/dispmath][dispmath]\sqrt[3]{\left(9-\sqrt{x+1}\right)\left(7+\sqrt{x+1}\right)}\cdot 4=16[/dispmath][dispmath]\sqrt[3]{\left(9-\sqrt{x+1}\right)\left(7+\sqrt{x+1}\right)}=4[/dispmath]
Kada se stepenuje na treći:
[dispmath]{\left(9-\sqrt{x+1}\right)\left(7+\sqrt{x+1}\right)}=64[/dispmath][dispmath]63+9\sqrt{x+1}-7\sqrt{x+1}-(x+1)=64[/dispmath][dispmath]2\sqrt{x+1}-(x+1)=1[/dispmath]
Smenom [inlmath]\sqrt{x+1}[/inlmath] ovo postaje kvadratna jednačina:
[dispmath]2t-t^2=1[/dispmath][dispmath]-t^2+2t-1=0[/dispmath][dispmath]t^2-2t+1=0[/dispmath][dispmath](t-1)^2=0[/dispmath][dispmath]t=1[/dispmath]
Vraćanjem smene:
[dispmath]t=\sqrt{x+1}[/dispmath][dispmath]1=x+1[/dispmath][dispmath]x=0[/dispmath]

---

Drugi način da rešiš zadatak je recimo da uvedeš smene:
[dispmath]\sqrt[3]{9-\sqrt{x+1}}=u[/dispmath][dispmath]\sqrt[3]{7+\sqrt{x+1}}=v[/dispmath]
Tada je [inlmath]u+v=4[/inlmath], a [inlmath]u^3+v^3=16[/inlmath].
Dalje je:
[dispmath]u^3+v^3=(u+v)\left(u^2-uv+v^2\right)=16[/dispmath][dispmath]4\cdot\left(u^2-uv+v^2\right)=16[/dispmath][dispmath]u^2-uv+v^2=4[/dispmath]
Onda iskoristiš uslov [inlmath]u+v=4[/inlmath] i dobiješ kvaratnu jednuačinu po [inlmath]u[/inlmath] ili [inlmath]v[/inlmath]. Dalje probaj sam.

@stevan95
Inače, u svom postupku si mogao preskočiti prvih nepotrebnih pet-šes' redova, da si odmah na levu stranu jednačine, [inlmath]\sqrt[3]{9-\sqrt{x+1}}+\sqrt[3]{7+\sqrt{x+1}}[/inlmath], primenio formulu za kub zbira, [inlmath]\left(a+b\right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/inlmath]...
Ti si radio po sistemu [inlmath]\left(a+b\right)^3=\left(a+b\right)^2\left(a+b\right)=\left(a^2+2ab+b^2\right)\left(a+b\right)=\cdots[/inlmath], što nije bilo potrebe...

Hvala, Milovane, nisam znao za tu caku za uvrštavanje iz početne jednačine.

Daniele, moram priznati da se nikad nisam trudio da je naučim, al' sam je, evo sad, upamtio.

Ako ti je smor da je pamtiš, onda zapamti [inlmath]\left(a+b\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}a^{n-k}b^k[/inlmath] (koju bi svakako trebalo da znaš, kao neki opšti oblik) i u nju uvrsti [inlmath]n=3[/inlmath]...

[dispmath]u^3+v^3=16[/dispmath]
Pitanje je kako doći do toga?

[dispmath]u^3+v^3=9-\sqrt{x+1}+7+\sqrt{x+1}=16[/dispmath]