Pozdrav svima! Potrebna mi je pomoc oko sledećeg zadatka:
Za koje vrednosti paramatra [inlmath]a[/inlmath] tačno jedan koren jednačine [inlmath](a+1)x^2-\left(a^2+a+6\right)x+6a=0[/inlmath] pripada intervalu [inlmath](0,1)[/inlmath]. (Rešenje: [inlmath]0<a<1\hspace{2mm}\lor\hspace{2mm}a>5[/inlmath]).
U rešavanju zadatka dosta mi je pomogla ova tema.
Jedan pristup zadatku bi bio traženje rešenja (u funkciji parametra [inlmath]a[/inlmath]) i analiza problema, tj. postavljanje odgovarajućih uslova. Neka je [inlmath]x_1[/inlmath] manje rešenje, a [inlmath]x_2[/inlmath] veće rešenje date jednačine.
[dispmath]\text{prvi uslov:}\hspace{8mm}0<x_1<1\hspace{4mm}\land\hspace{4mm}x_2>1\\
\text{drugi uslov:}\hspace{8mm}0<x_2<1\hspace{4mm}\land\hspace{4mm}x_1<0[/dispmath] Unija ova dva uslova dala bi konačno rešenje zadatka. Međutim, ovaj način rešavanja zadatka zahteva dosta posla i vremena, pa nije baš poželjan.
Drugi pristup zadatku bi bio postavljanje uslova
[dispmath]D>0\hspace{3mm}\land\hspace{3mm}f(0)\cdot f(1)<0,\hspace{3mm}f(a)=(a+1)x^2-\left(a^2+a+6\right)x+6a[/dispmath] Za detaljno obrazloženje postavljenih uslova pogledati linkovanu temu.
Kod prvog uslova [inlmath]D>0[/inlmath] nailazim na problem. Diskriminanta (u zadatku iz ove teme, naravno) u razvijenom obliku glasi
[dispmath]a^4+2a^3-11a^2-12a+36>0[/dispmath] Nemam ideju kako da sredim ovu nejednačinu, pa bi svaka pomoć dobro došla. Hvala unapred! Možda postoji i neki zaobilazni put koji ja ne vidim... ko će ga znati.
Nekim čudom, u rešenjima i nema uslova [inlmath]D>0[/inlmath], ili barem nije napisan.
Naknadno treba proveriti i granične slučajeve - kada je jedna od nula unutar intervala, a druga jedna od granica istog (intervala). Takođe, i slučaj [inlmath]D=0[/inlmath] treba posebno ispitati.

Bas gadno, ali resivo

Ali ako se malo potrudis videces da polinom [inlmath]a^4+2a^3-11a^2-12a+36[/inlmath] ima nulu za [inlmath]a=-3[/inlmath], delenjem sa [inlmath]a+3[/inlmath] dobijas polinom
[dispmath]a^3-a^2-8a+12[/dispmath] koji opet ima nulu za [inlmath]a=-3[/inlmath] ponovnim delenjem ces dobiti kvadratnu jednacinu i na osnovu toga ces moci da odredis znak.

I mislim da bi bilo pametnije da napises [inlmath]D\ge0[/inlmath] jer se nigde ne kaze da jednacina mora imati razlicita resenja.

Frank je napisao:[dispmath]{\color{red}D>0}\hspace{3mm}\land\hspace{3mm}f(0)\cdot f(1)<0,\hspace{3mm}f(a)=(a+1)x^2-\left(a^2+a+6\right)x+6a[/dispmath]

Crveno obeleženi uslov je suvišan.
Može li se desiti da bude [inlmath]D\le0[/inlmath] a da istovremeno bude [inlmath]f(0)\cdot f(1)<0[/inlmath]?
O vrlo sličnoj situaciji smo i razgovarali preksinoć.