Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Logaritamska nejednačina

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Logaritamska nejednačina

Postod Acim » Nedelja, 14. Februar 2021, 20:17

Pozdrav,
Zanima me generalno kod zadataka (u ovom slučaju logaritamskih jednačina) određivanje domena. Konkretno, ako odmah u početku, ili nakon par sređivanja uočimo smenu, da li pre toga treba određivati domen ili ne (zadatak ispod)
Zadatak glasi:
[dispmath]\log_x2\cdot\log_{2x}2\cdot\log_216x>1[/dispmath][dispmath]\frac{1}{\log_2x}\cdot\frac{1}{\log_2x+1}\cdot\left(\log_2x+4\right)>1[/dispmath] Ovde uočavamo smenu [inlmath]t=\log_2x[/inlmath]

Kad malo sredimo;
[dispmath]\frac{-t^2+4}{t^2+t}>0[/dispmath] Iz ovoga sledi skup [inlmath]t[/inlmath];
[dispmath]t\in\left(-2,-1\right)\cup\left(0,2\right)[/dispmath] [inlmath]\begin{array}{ll}
I\quad & \log_2x>-2\\
II\quad & \log_2x<-1\\
III\quad & \log_2x>0\\
IV\quad & \log_2x<2
\end{array}[/inlmath]
Iz ovoga slede brojevi redom [inlmath]\frac{1}{4},\frac{1}{2},1,4[/inlmath]
Kad to sve "upakujem" dobijam skup;
[dispmath]x\in\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)\cup\left(1,4\right)[/dispmath] što i jeste tačno rešenje. Međutim, ja sam ovo radio bez uslova iz domena (pre uvođenja smene), a sam domen je [inlmath]x\in\left(0,1\right)\cup\left(1,+\infty\right)[/inlmath] i kad sam početni uslov ubacio opet sam isti rezultat dobio.

E sad, da li sam ovde imao puku sreću pa sam dobio tačno rešenje, nisam siguran. Da li bi trebalo uvek pisati početni domen pre uvođenja smene?
Poslednji put menjao Daniel dana Utorak, 16. Februar 2021, 01:56, izmenjena samo jedanput
Razlog: Uklanjanje nepotrebnih zagrada iz argumenata logaritama, radi preglednosti
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 65
Zahvalio se: 34 puta
Pohvaljen: 2 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Logaritamska nejednačina

Postod primus » Ponedeljak, 15. Februar 2021, 05:59

Nepisano je pravilo da se domen određuje na početku rešavanja zadatka.
Plenus venter non studet libenter
primus  OFFLINE
 
Postovi: 168
Zahvalio se: 13 puta
Pohvaljen: 185 puta

  • +1

Re: Logaritamska nejednačina

Postod miletrans » Ponedeljak, 15. Februar 2021, 08:08

U principu je bitno da uslov definisanosti ubaciš negde u postupku da bi eliminisao ona rešenja za koje polazna jednačina nije definisana. Mislim da je takve stvari najbolje raditi negde na početku iz čisto praktičnih razloga. Zamisli da dobiješ četiri rešenja po [inlmath]t[/inlmath], ali da dva možeš odmah da eliminišeš zbog uslova definisanosti početne jednačine (navodim samo kao primer). Naravno, ako rešiš sva četiri po [inlmath]x[/inlmath], pa tek onda uvedeš početne uslove dobićeš tačno rešenje. Ali, zašto gubiti vreme i nepotrebno računati rešenja koja možeš odmah da eliminišeš. A taj vremenski faktor može puno da znači na prijemnom ili bilo kom drugom testu/ispitu/kolokvijumu.
Globalni moderator
 
Postovi: 461
Zahvalio se: 48 puta
Pohvaljen: 535 puta

Re: Logaritamska nejednačina

Postod Acim » Ponedeljak, 15. Februar 2021, 12:29

Sa tim se slažem, dosta se uštedi vremena na tome. Međutim, kod nejednačina, konkretno kod ove, da li će generalno početni domen izmeniti krajnji rezultat skupa posle završetka smene, pošto u ovom primeru dobijam isti rezultat, tj skup, sa/bez početnog domena?
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 65
Zahvalio se: 34 puta
Pohvaljen: 2 puta

  • +2

Re: Logaritamska nejednačina

Postod miletrans » Ponedeljak, 15. Februar 2021, 21:17

U principu neće. Bitno je da negde u postupku ispitaš uslove definisanosti početnog izraza i da eliminišeš sve one koji se ne uklapaju iz bilo kog razloga (nula u imeniocu, negativna vrednost pod parnim korenom, nepozitivna vrednost u logaritmu...). Ali, i dalje mislim da je lakše na samom početku eliminisati sve "grane" koje bi vodile do rešenja za koja izraz nije definisan.
Globalni moderator
 
Postovi: 461
Zahvalio se: 48 puta
Pohvaljen: 535 puta


Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 05. Mart 2021, 17:51 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs