Pozdrav,
Zanima me generalno kod zadataka (u ovom slučaju logaritamskih jednačina) određivanje domena. Konkretno, ako odmah u početku, ili nakon par sređivanja uočimo smenu, da li pre toga treba određivati domen ili ne (zadatak ispod)
Zadatak glasi:
[dispmath]\log_x2\cdot\log_{2x}2\cdot\log_216x>1[/dispmath][dispmath]\frac{1}{\log_2x}\cdot\frac{1}{\log_2x+1}\cdot\left(\log_2x+4\right)>1[/dispmath] Ovde uočavamo smenu [inlmath]t=\log_2x[/inlmath]

Kad malo sredimo;
[dispmath]\frac{-t^2+4}{t^2+t}>0[/dispmath] Iz ovoga sledi skup [inlmath]t[/inlmath];
[dispmath]t\in\left(-2,-1\right)\cup\left(0,2\right)[/dispmath] [inlmath]\begin{array}{ll}
I\quad & \log_2x>-2\\
II\quad & \log_2x<-1\\
III\quad & \log_2x>0\\
IV\quad & \log_2x<2
\end{array}[/inlmath]
Iz ovoga slede brojevi redom [inlmath]\frac{1}{4},\frac{1}{2},1,4[/inlmath]
Kad to sve "upakujem" dobijam skup;
[dispmath]x\in\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)\cup\left(1,4\right)[/dispmath] što i jeste tačno rešenje. Međutim, ja sam ovo radio bez uslova iz domena (pre uvođenja smene), a sam domen je [inlmath]x\in\left(0,1\right)\cup\left(1,+\infty\right)[/inlmath] i kad sam početni uslov ubacio opet sam isti rezultat dobio.

E sad, da li sam ovde imao puku sreću pa sam dobio tačno rešenje, nisam siguran. Da li bi trebalo uvek pisati početni domen pre uvođenja smene?

Nepisano je pravilo da se domen određuje na početku rešavanja zadatka.

U principu je bitno da uslov definisanosti ubaciš negde u postupku da bi eliminisao ona rešenja za koje polazna jednačina nije definisana. Mislim da je takve stvari najbolje raditi negde na početku iz čisto praktičnih razloga. Zamisli da dobiješ četiri rešenja po [inlmath]t[/inlmath], ali da dva možeš odmah da eliminišeš zbog uslova definisanosti početne jednačine (navodim samo kao primer). Naravno, ako rešiš sva četiri po [inlmath]x[/inlmath], pa tek onda uvedeš početne uslove dobićeš tačno rešenje. Ali, zašto gubiti vreme i nepotrebno računati rešenja koja možeš odmah da eliminišeš. A taj vremenski faktor može puno da znači na prijemnom ili bilo kom drugom testu/ispitu/kolokvijumu.

Sa tim se slažem, dosta se uštedi vremena na tome. Međutim, kod nejednačina, konkretno kod ove, da li će generalno početni domen izmeniti krajnji rezultat skupa posle završetka smene, pošto u ovom primeru dobijam isti rezultat, tj skup, sa/bez početnog domena?

U principu neće. Bitno je da negde u postupku ispitaš uslove definisanosti početnog izraza i da eliminišeš sve one koji se ne uklapaju iz bilo kog razloga (nula u imeniocu, negativna vrednost pod parnim korenom, nepozitivna vrednost u logaritmu...). Ali, i dalje mislim da je lakše na samom početku eliminisati sve "grane" koje bi vodile do rešenja za koja izraz nije definisan.