Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Rešenja kvadratne jednačine s parametrom – prvi probni prijemni FON 2015.

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Rešenja kvadratne jednačine s parametrom – prvi probni prijemni FON 2015.

Postod Acim » Četvrtak, 27. Maj 2021, 15:40

Drugi probni prijemni ispit FON – 13. jun 2015.
10. zadatak


Ako su [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] rešenja jednačine [inlmath]x^2+\left(m-2\right)x+m=0[/inlmath], [inlmath]m\in\mathbb{R}[/inlmath], onda je najmanja vrednost izraza [inlmath]x_1^2+x_1x_2+x^2_2[/inlmath] jednaka;
Tačan odgovor je [inlmath]-\frac{9}{4}[/inlmath]

U ovom zadatku nikako ne mogu da pronađem gde sam grešku napravio.
Prema Vietovim formulama, imamo da je [inlmath]x_1+x_2=2-m[/inlmath] a [inlmath]x_1x_2=m[/inlmath]
Iz njih dobijamo;
[dispmath]\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2[/dispmath] Na kraju se svodi na oblik [inlmath]m^2-5m+4=0[/inlmath] i kako nam se traži da izraz bude minimalan, tražimo prvi izvod, a to je;
[dispmath]2m=5[/dispmath] tj
[inlmath]m=\frac{5}{2}[/inlmath] što nije tačan rezultat.
Gde sam mogao da napravim propust?
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 182
Zahvalio se: 97 puta
Pohvaljen: 38 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Rešenja kvadratne jednačine s parametrom – prvi probni prijemni FON 2015.

Postod Vivienne » Četvrtak, 27. Maj 2021, 16:35

Za [inlmath]m=\frac{5}{2}[/inlmath] treba da izračunaš najmanju vrednost izraza, vrati samo [inlmath]m[/inlmath] u izraz i to je to.
 
Postovi: 70
Zahvalio se: 39 puta
Pohvaljen: 88 puta

  • +1

Re: Rešenja kvadratne jednačine s parametrom – prvi probni prijemni FON 2015.

Postod Daniel » Utorak, 01. Jun 2021, 01:35

Acim je napisao:Na kraju se svodi na oblik [inlmath]m^2-5m+4{\color{red}=0}[/inlmath]

Ne treba ti ovde [inlmath]=0[/inlmath]. Dakle, samo [inlmath]m^2-5m+4[/inlmath], i tražiš kolika je minimalna vrednost tog izraza.

A da bi našao njegovu minimalnu vrednost, nije čak ni potrebno da izjednačavaš njegov prvi izvod s nulom, niti da računaš [inlmath]m[/inlmath]. Pošto je u pitanju kvadratna funkcija po [inlmath]m[/inlmath], dovoljno je primeniti formulu za [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu temena kvadratne funkcije, [inlmath]y_T=\frac{4ac-b^2}{4a}[/inlmath] (ovde će, naravno, biti [inlmath]a=1[/inlmath], [inlmath]b=-5[/inlmath] i [inlmath]c=4[/inlmath]).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel   ONLINE
Administrator
 
Postovi: 8738
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4812 puta
Pohvaljen: 4681 puta

Re: Rešenja kvadratne jednačine s parametrom – prvi probni prijemni FON 2015.

Postod buca » Četvrtak, 03. Jun 2021, 21:38

Poz Daniele!

Kako znamo kad treba upotrebiti [inlmath]\displaystyle-\frac{D}{4a}[/inlmath] a kad [inlmath]\displaystyle-\frac{b}{2a}[/inlmath]? Znam da se te dve formule vrte kad su ekstremne vrednosti u pitanju ali ne znam kad koju treba upotrebiti.

Ako moze savet, bio bih vrlo zahvalan. Ova nedoumica me muci i posle desetine uradjenih zadataka iz ove oblasti.
buca  OFFLINE
 
Postovi: 47
Zahvalio se: 17 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Rešenja kvadratne jednačine s parametrom – prvi probni prijemni FON 2015.

Postod Daniel » Petak, 04. Jun 2021, 01:18

Poz buco! Teme kvadratne funkcije, kao i svaka druga tačka u koordinatnom sistemu, ima svoju [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu i svoju [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu:

koordinate temena.png
koordinate temena.png (886 Bajta) Pogledano 167 puta

[inlmath]x[/inlmath]-koordinata temena računa se po formuli [inlmath]x_T=-\frac{b}{2a}[/inlmath], a [inlmath]y[/inlmath]-koordinata se računa po formuli [inlmath]y_T=-\frac{D}{4a}[/inlmath].

A to znači sledeće (pogledaj gornji grafik):
  • Kad se traži vrednost nezavisne promenljive [inlmath]x[/inlmath] za koju će kvadratna funkcija imati ekstremnu vrednost, to znači da tražimo [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu temena, i tada koristimo formulu [inlmath]x_T=-\frac{b}{2a}[/inlmath];
  • Kad se traži maksimalna (za [inlmath]a<0[/inlmath]) ili minimalna (za [inlmath]a>0[/inlmath]) vrednost koju kvadratna funkcija može da dostigne, to znači da tražimo [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu temena, i tada koristimo formulu [inlmath]y_T=-\frac{D}{4a}[/inlmath].
Nadam se da je ovo bio odgovor na tvoje pitanje.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel   ONLINE
Administrator
 
Postovi: 8738
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4812 puta
Pohvaljen: 4681 puta

Re: Rešenja kvadratne jednačine s parametrom – prvi probni prijemni FON 2015.

Postod buca » Utorak, 08. Jun 2021, 12:32

Jeste samo mi nije jasno kako sad da upotrebim ovo sto si rekao u zadacima.

Evo na primer: Ako su [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] realna rešenja jednačine [inlmath]2x^2+2(m−1)x+m^2+m+2=0[/inlmath], [inlmath]m\in\mathbb{R}[/inlmath], onda je najveća vrednost izraza [inlmath]|x_1−x_2|[/inlmath] jednaka: [inlmath]1[/inlmath].

Koliko sam ja shvatio, ovde nam treba vrednost za koju ce funkcija [inlmath]|x_1−x_2|[/inlmath] imati ekstremnu vrednost i zbog toga treba koristiti [inlmath]-\displaystyle\frac{b}{2a}[/inlmath] formulu. Jel tako?

Inace, hvala ti puno na savetima do sad.
buca  OFFLINE
 
Postovi: 47
Zahvalio se: 17 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Rešenja kvadratne jednačine s parametrom – prvi probni prijemni FON 2015.

Postod Daniel » Četvrtak, 10. Jun 2021, 15:09

Nema na čemu!

Taj zadatak smo, inače, baš i imali pre desetak dana, ovde. Jesi li ga pogledao? Ako imaš pitanja oko tog zadatka, najbolje je da ih postaviš u toj temi.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel   ONLINE
Administrator
 
Postovi: 8738
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4812 puta
Pohvaljen: 4681 puta


Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Daniel i 23 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 21. Jun 2021, 17:42 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs