Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Jednačina s parametrom – prijemni FON 2005.

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Jednačina s parametrom – prijemni FON 2005.

Postod Mihajlo Miki » Subota, 17. Jul 2021, 22:42

Prijemni ispit FON – 30. jun 2005.
20. zadatak


Pozdrav svima, dugo pratim sajt Matemanija, ali sam tek od danas i njen zvanični član. :D Puno puta sam na ovom sajtu našao rešenja zadataka sa kojima sam mučio muku i to mi je dosta pomoglo, sve pohvale.:bravo: Evo zadatka koji me ovog puta muči:

Jednačina [inlmath]\left|x^2+x\right|=a[/inlmath] ([inlmath]a\in\mathbb{R}[/inlmath]) ima četiri različita realna rešenja ako i samo ako [inlmath]a[/inlmath] pripada skupu:
Tačan odgovor je: [inlmath](0,\,0.25)[/inlmath].

Video sam da na sajtu ima sličnih zadataka, ja sam nešto kombinovao i na osnovu toga izvodio neko rešenje. Sve ovo sam zamislio kao funkciju, našao [inlmath]x_T[/inlmath] i [inlmath]y_T[/inlmath], našao u kojim tačkama ova funkcija ima vrednost [inlmath]0[/inlmath], pa sam sve te tačke uzeo za crtanje grafika. Iz dobijenog grafika sam video gde treba povući horizontalnu liniju [inlmath]y=a[/inlmath], da bi ova jednačina imala četiri rešenja i sa slike video da je to bilo gde ispod [inlmath]\frac{1}{4}[/inlmath]. Može biti da je moj postupak potpuno pogrešan, zato bih voleo da mi neko postupno objasni kako se radi ovakav tip zadataka, ali i da mi kaže šta je u mom postupku bilo dobro, a šta ne.

Nadam se da sam ispoštovao normu pisanja, ako nisam, molim vas ukažite mi i na te greške, hvala unapred. :D
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Jednačina s parametrom – prijemni FON 2005.

Postod Daniel » Nedelja, 18. Jul 2021, 07:36

Pozdrav, dobro došao, i hvala za pohvale, drago mi je da ti je forum pomogao, nadam se da će i ubuduće. :thumbup:

Pristup ovom zadatku ti je dobar, zadaci ovog tipa se najlakše rešavaju grafički, kao što si i ti radio (može i algebarskim načinom, ali je znatno komplikovaniji i ne bih ga preporučio jer je verovatnoća spetljavanja poprilična, s grafikom je daleko elegantnije). Ispravno si zaključio da prava [inlmath]y=a[/inlmath] treba da se nalazi ispod vrednosti [inlmath]\frac{1}{4}[/inlmath] (što se i poklapa s rešenjem), ali ne baš bilo gde ispod te vrednosti – potrebno je odrediti i donju granicu.

cetiri resenja.png
cetiri resenja.png (1.91 KiB) Pogledano 46 puta

Na slici vidimo da horizontalne prave koje se nalaze iznad prave [inlmath]y=\frac{1}{4}[/inlmath] (nacrtana plavo) imaju po dve zajedničke tačke s grafikom [inlmath]\left|x^2+x\right|[/inlmath] (na slici crveno), što znači da za [inlmath]a>\frac{1}{4}[/inlmath] jednačina ima dva različita realna rešenja. U graničnom slučaju, [inlmath]y=\frac{1}{4}[/inlmath], imaćemo tri zajedničke tačke, što znači da tada jednačina ima tri različita realna rešenja. Kako horizontalnu pravu dalje transliramo prema dole, vidimo da će broj zajedničkih tačaka (a samim tim i broj različitih realnih rešenja) biti četiri, koliko se u zadatku i traži – sve dok se ne poklopi s pravom [inlmath]y=0[/inlmath] (na slici zeleno), što odgovara slučaju [inlmath]a=0[/inlmath], kada će broj zajedničkih tačaka biti dva (dodirivaće se s grafikom [inlmath]\left|x^2+x\right|[/inlmath] samo u njegovim „špicevima“). Horizontalne prave koje su ispod prave [inlmath]y=0[/inlmath] (slučaj [inlmath]a<0[/inlmath]) neće imati zajedničke tačke s grafikom [inlmath]\left|x^2+x\right|[/inlmath], što znači da za [inlmath]a<0[/inlmath] jednačina nema realnih rešenja (što je i logično, jer bi tada desna strana jednačine bila negativna, dok je leva nenegativna zbog apsolutne zagrade).
Prema tome, broj zajedničkih tačaka će biti četiri za one horizontalne prave koje se nalaze između pravih [inlmath]y=\frac{1}{4}[/inlmath] i [inlmath]y=0[/inlmath] (ne računajući [inlmath]y=\frac{1}{4}[/inlmath] i [inlmath]y=0[/inlmath]), tj. za vrednosti parametra [inlmath]a[/inlmath] koje su u intervalu [inlmath]\left(0,\frac{1}{4}\right)[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8790
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4867 puta
Pohvaljen: 4704 puta

Re: Jednačina s parametrom – prijemni FON 2005.

Postod Mihajlo Miki » Nedelja, 18. Jul 2021, 17:17

Hvala puno na dobrodošlici i na odgovoru. Sve sam razumeo. :thumbup:
Samo me zanima, da li je pravilan računski način na koji sam ja došao do tačaka [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]\frac{1}{4}[/inlmath]?

Koristio sam obrazac [inlmath]x_T=-\frac{b}{2a}[/inlmath], a [inlmath]y_T[/inlmath] dobio kad dobijeno [inlmath]x_T[/inlmath] ubacim u jednacinu [inlmath]\left|x^2+x\right|=0[/inlmath].

Ako je ovaj način tačan, može li se uvek primeniti? I nezavisno od toga da li je tačan ili ne, postoji li još neki način za pronalaženje ovih tačaka koje su nam važne za crtanje grafika?
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Jednačina s parametrom – prijemni FON 2005.

Postod Daniel » Nedelja, 18. Jul 2021, 21:15

Mihajlo Miki je napisao:Koristio sam obrazac [inlmath]x_T=-\frac{b}{2a}[/inlmath], a [inlmath]y_T[/inlmath] dobio kad dobijeno [inlmath]x_T[/inlmath] ubacim u jednacinu [inlmath]\left|x^2+x\right|=0[/inlmath].

Verovatno si hteo reći, ne u jednačinu [inlmath]\left|x^2+x\right|{\color{red}=0}[/inlmath], već u izraz [inlmath]\left|x^2+x\right|[/inlmath].
Sasvim OK. Mogao si i bez računanja [inlmath]x_T[/inlmath] (koje nam za nalaženje parametra [inlmath]a[/inlmath] i nije neophodno), dovoljno nam je da znamo samo [inlmath]y_T[/inlmath], a njega smo mogli naći na osnovu poznate formule [inlmath]y_T=\frac{4ac-b^2}{4a}[/inlmath], pa pošto dobijemo negativnu vrednost, a imamo apsolutnu zagradu – samo uklonimo predznak minus (tj. teme će nam biti simetrično u odnosu na [inlmath]x[/inlmath]-osu u odnosu na ono teme koje bismo imali bez apsolutne zagrade, a koje bi se nalazilo ispod [inlmath]x[/inlmath]-ose).

Mihajlo Miki je napisao:Ako je ovaj način tačan, može li se uvek primeniti?

„Uvek“ je dosta širok pojam. Uglavnom se može primeniti kad imamo takve jednačine s parametrom kod kojih je na jednoj strani nekakva funkcija koja se može grafički skicirati, a na drugoj strani neka jednačina prave čiji položaj zavisi od parametra [inlmath]a[/inlmath]. I, naravno, kad posmatramo samo broj rešenja (kao što je u ovom zadatku slučaj), a ne i tačne vrednosti rešenja.

Mihajlo Miki je napisao:I nezavisno od toga da li je tačan ili ne, postoji li još neki način za pronalaženje ovih tačaka koje su nam važne za crtanje grafika?

Moguće je i bez formule za koordinate temena kvadratne funkcije, traženjem lokalnih ekstremuma pomoću prvog izvoda – izjednačavanjem prvog izvoda [inlmath]\left|x^2+x\right|[/inlmath] s nulom, kao i traženjem tačaka u kojima prvi izvod nije definisan (to su ona dva „špica“).
  • Izvod ne bi bio definisan u tačkama u kojima [inlmath]x^2+x[/inlmath] prelazi iz negativnosti u pozitivnost i obratno (tj. to bi bile nule tog izraza) – a samim pogledom na grafik odmah i vidimo da će [inlmath]y[/inlmath]-koordinate „špiceva“ biti nule, tako da se oko ovog koraka i ne moramo mnogo zadržavati;
  • Prvi izvod bi imao nulu za [inlmath]x=-\frac{1}{2}[/inlmath], a to je zapravo [inlmath]x_T[/inlmath] (i isto to bismo dobili i primenom formule [inlmath]x_T=-\frac{b}{2a}[/inlmath]), nakon čega uvrštavanjem u [inlmath]\left|x^2+x\right|[/inlmath] dobijamo [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu temena, koja nam je od interesa.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8790
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4867 puta
Pohvaljen: 4704 puta


Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Sreda, 28. Jul 2021, 20:12 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs