Prijemni ispit FON – 29. jun 2021.
19. zadatak
Zbir svih celobrojnih rešenja jednačine [inlmath]\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+8\right)\left(x+12\right)=4x^2[/inlmath] jednak je:
Tačan odgovor je [inlmath]-10[/inlmath]
Ja se konkretno kod ovog zadatka na samom prijemnom nisam snašao (probao sam [inlmath]n[/inlmath] kombinacija ali nije uspevalo ništa), ali sam nakon par dana isprobao jedan način i došao do tačnog rešenja, pa bih hteo da ga podelim sa ostalima;
Množenjem prve i četvrte, druge i treće zagrade dobijamo;
[dispmath]\left(x^2+14x+24\right)\left(x^2+11x+24\right)=4x^2[/dispmath] Sada, ceo izraz podelimo sa [inlmath]x^2[/inlmath] na sledeći način;
[dispmath]\left(\frac{x^2+14x+24}{x}\right)\cdot\left(\frac{x^2+11x+24}{x}\right)=4[/dispmath] Odavde uvedemo smenu [inlmath]x+\frac{24}{x}=t[/inlmath] odakle se dobija kvadratna j-na po [inlmath]t[/inlmath];
[dispmath]t^2+25t+150=0[/dispmath] Čija su rešenja [inlmath]-10[/inlmath] i [inlmath]-15[/inlmath]
Rešenje [inlmath]-15[/inlmath] ne uvažavamo, jer kada vratimo smenu, dobijamo kvadratnu j-nu koja nema racionalnih (a samim tim ni celobrojnih) rešenja, dok za [inlmath]-10[/inlmath] dobijamo;
[dispmath]x^2+10x+24=0[/dispmath] Njena rešenja su [inlmath]-4[/inlmath] i [inlmath]-6[/inlmath] i njihov zbir je [inlmath]-10[/inlmath] što je i rešenje zadatka.