Pozdrav, treba mi mala pomoć pri rješavanju zadatka. On glasi ovako:

Jednačina [inlmath]x-a=2\cdot\left|2\cdot\sqrt{x^2}-a^2\right|[/inlmath] ima maksimalan broj rješenja akko je:
a) [inlmath]a<0[/inlmath] ili [inlmath]a>2[/inlmath]
b) [inlmath]a\le-2[/inlmath] ili [inlmath]a\ge-\frac{1}{2}[/inlmath]
c) [inlmath]-2<a<0[/inlmath]
d) [inlmath]|a|\le1[/inlmath]
e) [inlmath]-2<a<-\frac{1}{2}[/inlmath]

Tačan odgovor je pod e). Međutim, kad sam ja radila, dobila sam pod c).
Radila sam tako što sam prvo postavila uslov da je [inlmath]x-a\ge0[/inlmath] jer je izraz na desnoj strani pozitivan. Onda sam napisala da je [inlmath]\sqrt{x^2}=|x|[/inlmath]. Sad sam obe apsolutne zagrade raspisala i postavila odgovarajuće uslove. Npr, prvi slučaj mi je da je [inlmath]x\ge0[/inlmath] i [inlmath]|x|\ge\frac{a^2}{2}[/inlmath]. Znači [inlmath]x\ge\frac{a^2}{2}[/inlmath]. Međutim, imam i uslov [inlmath]x\ge a[/inlmath], pa sad imam slučaje: [inlmath]\frac{a^2}{2}\ge a[/inlmath] i [inlmath]\frac{a^2}{2}<a[/inlmath], da bi odredila koji je uslov "jači" itd. Znači, ima se puno raspisivati, ali na kraju, kad ispitam sve slučajeve i napravim presjek svih uslova dobijem [inlmath]-2<a<0[/inlmath]. Pretpostavljam da sam zaboravila neki uslov, ali koji, ne znam.
Inače, ovo je sa prijemnog ispita za Tehničke fakultete 1993. godine, preuzeto iz Tošićeve zbirke. Skinula sam ovu zbirku u pdf-u, međutim fali baš ona strana na kojoj piše rješenje ovog zadatka.
Pozdrav i hvala unaprijed!

Početna jednačina se može napisati i u obliku [inlmath]x-a=\left|4 \left|x \right|-2a^2 \right|[/inlmath]
Analizom desne strane jednakosti, pretpostavljam da si dobila da je:
[dispmath]\left|4 \left|x \right|-2a^2 \right| = \left\{ \begin{array}{cl}
-4x-2a^2 & : \ - \infty < x \leq -\frac{a^2}{2} \\
4x+2a^2 & : \ -\frac{a^2}{2}\leq x \leq 0 \\
-4x+2a^2 & : \ 0 \leq x \leq \frac{a^2}{2} \\
4x-2a^2 & : \ \frac{a^2}{2} \leq x < +\infty
\end{array} \right.[/dispmath] i da si, dalje, analizirala 4 jednačine [inlmath]x-a=-4x-2a^2[/inlmath] ; [inlmath]x-a=4x+2a^2[/inlmath] ; [inlmath]x-a=-4x+2a^2[/inlmath] ; [inlmath]x-a=4x-2a^2[/inlmath] , vodeći računa o uslovima.
I dobija se da je maksimalan broj rešenja 4 kada sve jednačine imaju rešenja, a to jeste, kao si navela, za [inlmath]-2<a<-\frac{1}{2}[/inlmath].
Kako si navela "ima se puno raspisivati". Kraći način je pomoću grafika funkcija
[dispmath]y=x-a \space\space\space\space \text{i} \space\space \space\space y=\left|4 \left|x \right|-2a^2 \right|[/dispmath] i da zaključiš kada će grafici te dve funkcije imati najviše presečnih tačaka.
Trebalo bi da je [inlmath]-2a^2<a<-\frac{a^2}{2}[/inlmath].

Sad razumijem. Hvala na iscrpnom rješenju, puno mi znači! Pozdrav!