Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Maksimalan broj rješenja

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Maksimalan broj rješenja

Postod nadja » Utorak, 10. Oktobar 2023, 18:37

Pozdrav, treba mi mala pomoć pri rješavanju zadatka. On glasi ovako:

Jednačina [inlmath]x-a=2\cdot\left|2\cdot\sqrt{x^2}-a^2\right|[/inlmath] ima maksimalan broj rješenja akko je:
a) [inlmath]a<0[/inlmath] ili [inlmath]a>2[/inlmath]
b) [inlmath]a\le-2[/inlmath] ili [inlmath]a\ge-\frac{1}{2}[/inlmath]
c) [inlmath]-2<a<0[/inlmath]
d) [inlmath]|a|\le1[/inlmath]
e) [inlmath]-2<a<-\frac{1}{2}[/inlmath]

Tačan odgovor je pod e). Međutim, kad sam ja radila, dobila sam pod c).
Radila sam tako što sam prvo postavila uslov da je [inlmath]x-a\ge0[/inlmath] jer je izraz na desnoj strani pozitivan. Onda sam napisala da je [inlmath]\sqrt{x^2}=|x|[/inlmath]. Sad sam obe apsolutne zagrade raspisala i postavila odgovarajuće uslove. Npr, prvi slučaj mi je da je [inlmath]x\ge0[/inlmath] i [inlmath]|x|\ge\frac{a^2}{2}[/inlmath]. Znači [inlmath]x\ge\frac{a^2}{2}[/inlmath]. Međutim, imam i uslov [inlmath]x\ge a[/inlmath], pa sad imam slučaje: [inlmath]\frac{a^2}{2}\ge a[/inlmath] i [inlmath]\frac{a^2}{2}<a[/inlmath], da bi odredila koji je uslov "jači" itd. Znači, ima se puno raspisivati, ali na kraju, kad ispitam sve slučajeve i napravim presjek svih uslova dobijem [inlmath]-2<a<0[/inlmath]. Pretpostavljam da sam zaboravila neki uslov, ali koji, ne znam.
Inače, ovo je sa prijemnog ispita za Tehničke fakultete 1993. godine, preuzeto iz Tošićeve zbirke. Skinula sam ovu zbirku u pdf-u, međutim fali baš ona strana na kojoj piše rješenje ovog zadatka. :facepalm:
Pozdrav i hvala unaprijed!
nadja  OFFLINE
 
Postovi: 6
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Maksimalan broj rješenja

Postod Fare » Sreda, 11. Oktobar 2023, 00:43

Početna jednačina se može napisati i u obliku [inlmath]x-a=\left|4 \left|x \right|-2a^2 \right|[/inlmath]
Analizom desne strane jednakosti, pretpostavljam da si dobila da je:
[dispmath]\left|4 \left|x \right|-2a^2 \right| = \left\{ \begin{array}{cl}
-4x-2a^2 & : \ - \infty < x \leq -\frac{a^2}{2} \\
4x+2a^2 & : \ -\frac{a^2}{2}\leq x \leq 0 \\
-4x+2a^2 & : \ 0 \leq x \leq \frac{a^2}{2} \\
4x-2a^2 & : \ \frac{a^2}{2} \leq x < +\infty
\end{array} \right.[/dispmath] i da si, dalje, analizirala 4 jednačine [inlmath]x-a=-4x-2a^2[/inlmath] ; [inlmath]x-a=4x+2a^2[/inlmath] ; [inlmath]x-a=-4x+2a^2[/inlmath] ; [inlmath]x-a=4x-2a^2[/inlmath] , vodeći računa o uslovima.
I dobija se da je maksimalan broj rešenja 4 kada sve jednačine imaju rešenja, a to jeste, kao si navela, za [inlmath]-2<a<-\frac{1}{2}[/inlmath].
Kako si navela "ima se puno raspisivati". Kraći način je pomoću grafika funkcija
[dispmath]y=x-a \space\space\space\space \text{i} \space\space \space\space y=\left|4 \left|x \right|-2a^2 \right|[/dispmath] i da zaključiš kada će grafici te dve funkcije imati najviše presečnih tačaka.
Trebalo bi da je [inlmath]-2a^2<a<-\frac{a^2}{2}[/inlmath].
Prikačeni fajlovi
grafik.png
grafik.png (16.5 KiB) Pogledano 321 puta
Fare  OFFLINE
 
Postovi: 110
Zahvalio se: 19 puta
Pohvaljen: 143 puta

Re: Maksimalan broj rješenja

Postod nadja » Sreda, 11. Oktobar 2023, 13:48

Sad razumijem. Hvala na iscrpnom rješenju, puno mi znači! Pozdrav!
nadja  OFFLINE
 
Postovi: 6
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 1 puta


Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 11 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 27. Februar 2024, 21:10 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs