Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Najveća vrednost parametra za koju je zadovoljena nejednakost sa logaritmom

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Najveća vrednost parametra za koju je zadovoljena nejednakost sa logaritmom

Postod charliecale » Petak, 31. Maj 2024, 15:37

Evo još jednog zadatka koji je na zvaničnoj listi neprijatelja. 8-)
Neka su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] realni brojevi veći od [inlmath]1[/inlmath]. Najveća vrednost parametra [inlmath]c[/inlmath], pri čemu važi [inlmath]c\in\mathbb{R}[/inlmath], za koju je zadovoljena nejednakost
[dispmath]\frac{1}{3+\log_ab}+\frac{1}{3+\log_ba}\geq c[/dispmath]
iznosi?
Tačan odgovor je [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath].


Ovde sam, pre svega, uvideo da se može iskoristiti svojstvo logaritma: [inlmath]\log_ba=\frac{1}{\log_ab}[/inlmath].
E, sad, upotrebim ja to, svedem sve na zajednički imenilac, i dobijem:
[dispmath]\frac{{\log}^2_ab+6\log_ab+1}{3{\log}^2_ab+10\log_ab+3}\geq c[/dispmath]
A odavde ni mrdnut'. Jeste da se u tekstu zadatka spominje maksimum, mada mislim da nam ovde prvi izvod nije od pomoći? Možda nisam čak ni trebao da svodim na zajednički imnilac? :think1:
Prezirem zadatke sa opštim slučajevima... ubeđen sam da služe samo kao sprava za mučenje (neka iz srednjeg veka, recimo...). :laughing-rolling:
"It begins with absence and desire. It begins with blood and fear. It begins with a discovery of witches." — "A Discovery of Witches"
 
Postovi: 9
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Najveća vrednost parametra za koju je zadovoljena nejednakost sa logaritmom

Postod jans » Petak, 31. Maj 2024, 18:19

Obeleži jedan od logaritama sa x. Pošto su a i b realni brojevi veći od jedinice, možemo zaključiti da su navedeni logaritmi pozitivni, odnosno da je x>0. Navedeni izraz obeleži sa y, pa imamo funkciju [dispmath]y=\frac{1}{3+x}+\frac{x}{3x+1}[/dispmath] koju možemo napisati u pogodnijem obliku [dispmath]y=\frac{1}{3+x}+\frac{1}{3}\cdot\frac{3x}{3x+1}=\frac{1}{3+x}+\frac{1}{3}\cdot\frac{3x+1-1}{3x+1}=\frac{1}{3+x}+\frac{1}{3}\cdot(1-\frac{1}{3x+1})=\frac{1}{3}+\frac{1}{3+x}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3x+1}[/dispmath]Pošto je x>0, jednostavno se dokazuje da je [dispmath]\frac{1}{3x+1}>\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3x+1}>0\Rightarrow\frac{1}{3x+1}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3x+1}>0[/dispmath] Sledi da je [inlmath]y>\frac{1}{3}[/inlmath], a pošto je [inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}y=\frac{1}{3}[/inlmath], sledi da je [inlmath]c\le \frac{1}{3}[/inlmath].
jans  OFFLINE
 
Postovi: 37
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 43 puta

Re: Najveća vrednost parametra za koju je zadovoljena nejednakost sa logaritmom

Postod charliecale » Petak, 31. Maj 2024, 18:50

jans je napisao:Obeleži jedan od logaritama sa x. Pošto su a i b realni brojevi veći od jedinice, možemo zaključiti da su navedeni logaritmi pozitivni, odnosno da je x>0. Navedeni izraz obeleži sa y, pa imamo funkciju [dispmath]y=\frac{1}{3+x}+\frac{x}{3x+1}[/dispmath] koju možemo napisati u pogodnijem obliku [dispmath]y=\frac{1}{3+x}+\frac{1}{3}\cdot\frac{3x}{3x+1}=\frac{1}{3+x}+\frac{1}{3}\cdot\frac{3x+1-1}{3x+1}=\frac{1}{3+x}+\frac{1}{3}\cdot(1-\frac{1}{3x+1})=\frac{1}{3}+\frac{1}{3+x}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3x+1}[/dispmath]

Ovo sam shvatio. Nego, gde se dedoše
[dispmath]\frac{1}{3}+\frac{1}{3+x}[/dispmath]
iz
[dispmath]\frac{1}{3}+\frac{1}{3+x}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3x+1}[/dispmath]
?
Ovo u daljem postupku ne vidim, pa mi ovaj deo i nije najjasniji. Sve ostalo razumem. :whistle:
"It begins with absence and desire. It begins with blood and fear. It begins with a discovery of witches." — "A Discovery of Witches"
 
Postovi: 9
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Najveća vrednost parametra za koju je zadovoljena nejednakost sa logaritmom

Postod jans » Petak, 31. Maj 2024, 19:38

Tu jednu trećinu na momenat ignorišemo a posmatramo samo razlomke koji sadrže x. A nije ti jasno zato što sam, koristeći "copy-paste " načinio grešku. Trebe da bude[dispmath]\frac{1}{3+x}>\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3x+1}>0\Rightarrow\frac{1}{3+x}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3x+1}>0[/dispmath] izvini.
jans  OFFLINE
 
Postovi: 37
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 43 puta

Re: Najveća vrednost parametra za koju je zadovoljena nejednakost sa logaritmom

Postod charliecale » Petak, 31. Maj 2024, 19:48

E, sada je sve kristalno jasno! Nema potrebe da se izvinjavaš; živ čovek greši. :) :aureola:
"It begins with absence and desire. It begins with blood and fear. It begins with a discovery of witches." — "A Discovery of Witches"
 
Postovi: 9
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 1 puta


Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 9 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 22. Jun 2024, 10:40 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs