A) Odrediti maksimalni red elementa grupe [inlmath]\mathbb{S}_{10}[/inlmath], kao i broj elemenata maksimalnog reda.
B) Ako je [inlmath]\sigma[/inlmath] neki element maksimalnog reda iz [inlmath]\mathbb{S}_{10}[/inlmath], odrediti [inlmath]sgn(\sigma)[/inlmath], kao i [inlmath]\sigma^{2040}[/inlmath].
C) Ako [inlmath]H \leq \mathbb{S}_{10}[/inlmath] sadrži element maksimalnog reda, tada H sadrži jednak broj parnih i neparnih permutacija. Dokazati.

U životu nisam video ovakav zadatak i za pola stvari ne umem da se snađem i ne znam u kom pravcu da razmišljam.

Za deo pod A) sam razmišljao koji su sve NZS-ovi za ciklične dekompozicije od [inlmath]\mathbb{S}_{10}[/inlmath]. Npr. [inlmath]\mathbb{S}_{10}[/inlmath] se može sastojati iz ciklusa dužine 8 i dužine 2, 7 i 3, 6 i 4, 5 i 5.
Najveći NZS je [inlmath]NZS(7, 3) = 21[/inlmath]. Tako sam dobio da je maksimalni red 21, ali mislim da to nije tačno. Dalje je potrebno permutovati sve te elemente, ali kojim postupkom to uraditi, koja formula je ispravna?

Moja neka logika je da u ciklusu dužine 7 treba odabrati 7 od 10 elemenata, preostala 3 elementa odu na preostale 3 pozicije u ciklusu dužine 3. Kombinatorika mi nije jača strana pa zaista nemam pojma kako rešiti ovaj problem (pod pretpostavkom da je maksimalan red 21).

Ne znam šta je [inlmath]sgn(\sigma)[/inlmath], pretpostavljam da je u pitanju znak (ali ove permutacije nemaju predznake, pa ne razumem najbolje, možda se odnosi na parnost). [inlmath]\sigma^{2040}[/inlmath] umem da odredim, jednostavno uzmem [inlmath]2040 \equiv 0 (\text{mod} 10)[/inlmath], pa će se elementi ciklusa dužina 7 i 3 rotirati za 0 pozicija tj. ostaće u mestu.

Za deo pod C) isto dosta toga ne razumem, ali počevši od početka, pošto je H podgrupa od [inlmath]\mathbb{S}_{10}[/inlmath], potrebno je da pokažem da je normalna podgrupa (jednak broj parnih/neparnih permutacija pretpostavljam da ima neke veze sa konjugatima odnosno levim i desnim kosetima). Ovo "sadrži element maksimalnog reda" mi posebno zapada za oko ali ne umem da objasnim zašto je to bitan detalj. Možda se implicira da je H zapravo slika tj, imidž od [inlmath]\mathbb{S}_{10}[/inlmath] pa kako sadrži sve elemente, tako sadrži i taj maksimalnog reda.