Moze li neko da mi objasni ove zadatke... unapred hvala!

5. Jednačina [inlmath]4\sin x+3\cos x=a[/inlmath] ima realna rešenja ako i samo ako parametar [inlmath]a[/inlmath] pripada intervalu:
[inlmath]A)\;\left[-\frac{7}{2},\frac{7}{2}\right]\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{B)}\;\left[-5,5\right]\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;\left[-7,7\right]\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;\left[-12,12\right]\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;\left[-25,25\right]\quad[/inlmath] [inlmath]N)\;\mbox{ne znam}[/inlmath]

6. Broj rešenja jednačine [inlmath]\left(4\cos^2x+4\cos x-3\right)\sqrt{5\sin x}=0[/inlmath] u intervalu [inlmath]\left[0,2\pi\right)[/inlmath] je:
[inlmath]A)\;1\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;2\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;4\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{D)}\;3\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;5\quad[/inlmath] [inlmath]N)\;\mbox{ne znam}[/inlmath]

7. Broj rešenja jednačine [inlmath]4^{\cos 2x}+4^{\cos^2x}=3[/inlmath] u intervalu [inlmath]\left[0,2\pi\right)[/inlmath] je:
[inlmath]A)\;6\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;2\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;1\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{D)}\;4\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;8\quad[/inlmath] [inlmath]N)\;\mbox{ne znam}[/inlmath]

8. Jednačina [inlmath]\left|-x^2+5x-4\right|=ax[/inlmath] ima četiri realna rešenja ako i samo ako parametar [inlmath]a[/inlmath] pripada intervalu:
[inlmath]\enclose{circle}{A)}\;\left(0,1\right)\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;\left(-1,+\infty\right)\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;\left(0,2\right)\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;\left(0,+\infty\right)\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;\left(-1,0\right)\quad[/inlmath] [inlmath]N)\;\mbox{ne znam}[/inlmath]

9. Skup rešenja nejednačine [inlmath]\log_\frac{1}{2}\left(3x^2+7x+4\right)<\log_\frac{1}{2}\left(x^2+2x+7\right)[/inlmath] je:
[inlmath]\enclose{circle}{A)}\;\left(-\infty,-3\right)\cup\left(\frac{1}{2},+\infty\right)\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;\left(-3,\frac{1}{2}\right)\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;\left(-3,-\frac{4}{3}\right)\cup\left(-1,\frac{1}{2}\right)\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;\left(-\infty,-3\right)\cup\left(-\frac{4}{3},-1\right)\cup\left(\frac{1}{2},+\infty\right)\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;\left(-\infty,+\infty\right)\quad[/inlmath] [inlmath]N)\;\mbox{ne znam}[/inlmath]

Za početak, [inlmath]5.[/inlmath] zadatak imaš rešen ovde, a [inlmath]8.[/inlmath] zadatak ovde.

Samo bih zamolio, ubuduće svaki zadatak u odgovarajuću rubriku foruma (Algebra, Trigonometrija itd.) kako bismo forum održavali preglednim. Hvala.

[inlmath]9.[/inlmath]
[dispmath]\log_\frac{1}{2}\left(3x^2+7x+4\right)<\log_\frac{1}{2}\left(x^2+2x+7\right)[/dispmath]
Baze logaritama su iste, ali su manje od jedan pa moramo okrenuti znak.
[dispmath]3x^2+7x+4>x^2+2x+7[/dispmath][dispmath]2x^2+5x-3>0[/dispmath]
Rešenja kvadratne jednačine su:
[dispmath]x_1<-3\quad\quad x_2>\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]x\in (-\infty,-3)\cup\left(\frac{1}{2},\infty\right)[/dispmath]

Binom je napisao:6. Broj rešenja jednačine [inlmath]\left(4\cos^2x+4\cos x-3\right)\sqrt{5\sin x}=0[/inlmath] u intervalu [inlmath]\left[0,2\pi\right)[/inlmath] je:
[inlmath]A)\;1\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;2\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;4\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{D)}\;3\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;5\quad[/inlmath] [inlmath]N)\;\mbox{ne znam}[/inlmath]

Prvo postavljamo uslov da jednačina uopšte bude definisana. Potkorena veličina mora biti [inlmath]\ge 0[/inlmath]:
[inlmath]\sin x\ge 0\quad\Rightarrow\quad 2k\pi\le x\le\pi+2k\pi[/inlmath]
što u preseku s uslovom zadatka [inlmath]0\le x<2\pi[/inlmath] daje
[inlmath]\underline{0\le x\le\pi}\quad\left(1\right)[/inlmath]

pa onda rešavamo jednačinu:
[dispmath]4\cos^2 x+4\cos x-3=0\quad\lor\quad\sqrt{5\sin x}=0[/dispmath]
[inlmath]\left(\cos x\right)_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{16+48}}{8}=\frac{-4\pm 8}{8}=\frac{-1\pm 2}{2}\\
\cancel{\left(\cos x\right)_1=-\frac{3}{2}}\quad\lor\quad\underline{\left(\cos x\right)_2=\frac{1}{2}}[/inlmath]
[dispmath]\cos x=\frac{1}{2}\quad\lor\quad\sin x=0[/dispmath][dispmath]x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi\quad\lor\quad x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\quad\lor\quad x=k\pi[/dispmath]
i to u preseku s početnim uslvom [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] daje
[dispmath]x\in\left\{0,\frac{\pi}{3},\pi\right\}[/dispmath]
Znači, tri rešenja.

I ostao još ovaj:

Binom je napisao:7. Broj rešenja jednačine [inlmath]4^{\cos 2x}+4^{\cos^2x}=3[/inlmath] u intervalu [inlmath]\left[0,2\pi\right)[/inlmath] je:
[inlmath]A)\;6\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;2\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;1\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{D)}\;4\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;8\quad[/inlmath] [inlmath]N)\;\mbox{ne znam}[/inlmath]

Primenimo formulu za kosinus dvostrukog ugla:
[dispmath]4^{\cos^2 x-\sin^2 x}+4^{\cos^2 x}=3[/dispmath][dispmath]4^{\cos^2 x-1+\cos^2 x}+4^{\cos^2 x}=3[/dispmath][dispmath]4^{2\cos^2 x-1}+4^{\cos^2 x}=3[/dispmath][dispmath]\frac{\left(4^{\cos^2 x}\right)^2}{4}+4^{\cos^2 x}=3[/dispmath]
Smena:
[inlmath]4^{\cos^2 x}=t[/inlmath]
[dispmath]\frac{t^2}{4}+t=3\quad /\cdot 4[/dispmath][dispmath]t^2+4t-12=0[/dispmath][dispmath]t_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{16+48}}{2}=\frac{-4\pm 8}{2}=-2\pm 4[/dispmath][dispmath]\cancel{t_1=-6},\quad\underline{t_2=2}[/dispmath]
Negativno rešenje odbacujemo, jer [inlmath]4^{\cos^2 x}[/inlmath] može biti samo pozitivno.
[dispmath]4^{\cos^2 x}=2[/dispmath][dispmath]\left(2^2\right)^{\cos^2 x}=2[/dispmath][dispmath]2^{2\cos^2 x}=2^1[/dispmath][dispmath]2\cos^2 x=1[/dispmath][dispmath]\cos^2 x=\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]\cos x=\pm\frac{\sqrt 2}{2}[/dispmath][dispmath]x=\frac{\pi}{4}+2k\pi\quad\lor\quad x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi\quad\lor\quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi\quad\lor\quad x=-\frac{3\pi}{4}+2k\pi[/dispmath]
što u preseku s uslovom zadatka, [inlmath]x\in\left[0,2\pi\right)[/inlmath], daje:
[dispmath]x=\frac{\pi}{4}\quad\lor\quad x=\frac{3\pi}{4}\quad\lor\quad x=\frac{5\pi}{4}\quad\lor\quad x=\frac{7\pi}{4}[/dispmath]
Znači, četiri rešenja.