Pozdrav. Zanima me da li se u ovom zadatku dobije da je [inlmath]m=46[/inlmath], ako primjenim isti postupak kao i za prethodni zadatak, jer sam ja uradila taj zadatak i dobijem da je [inlmath]m=46[/inlmath], pa onda krenem raditi drugi dio zadatka, u kojem pise da je predzadnji clan razvoja jednak [inlmath]8281[/inlmath], dobijem ovako:
[dispmath]{46\choose45}\left(\sqrt{x+3}\right)^1\cdot1^{45}=8281\;?[/dispmath]
A zadatak glasi ovako:
Naci [inlmath]x[/inlmath] u razvijenom obliku binoma [inlmath]\left(\sqrt{x+3}+1\right)^m[/inlmath], ako je [inlmath]m[/inlmath] rjesenje jednacine [inlmath]1+3+5+\cdots+m=2116[/inlmath], a predzadnji clan razvoja je jednak [inlmath]8281[/inlmath].

Možeš odmah videti da [inlmath]m[/inlmath] ne može biti jednako [inlmath]46[/inlmath], budući da je [inlmath]m[/inlmath] član niza [inlmath]1,3,5,\ldots,m[/inlmath], u kojem su svi članovi neparni. Prema tome, i [inlmath]m[/inlmath] mora biti neparno.

Pa kako onda da izrazim koliko je [inlmath]m[/inlmath]? Ako moze mala pomoc

Može pomoć, svakako. Napiši taj svoj postupak kojim si dobila da je [inlmath]m=46[/inlmath], i reći ćemo ti gde je greška.

Evo ovako: ja u formulu za sumu aritmetickog niza uvrstim da je [inlmath]a_1=1,\;d=2[/inlmath], pa imam: [inlmath]S_n=\frac{m}{2}(2\cdot1+(m-1)\cdot2)[/inlmath], pa dobijem [inlmath]S_n=\frac{m}{2}(2+2m-2)[/inlmath], [inlmath]S_n=\frac{m}{2}\cdot2m[/inlmath], [inlmath]S_n=\frac{2m^2}{2}[/inlmath], [inlmath]S_n=m^2[/inlmath].
Pa onda [inlmath]2116=m^2[/inlmath], pa je [inlmath]m=46[/inlmath]??

indira-aa je napisao:uvrstim da je [inlmath]a_1=1,\;d=2[/inlmath], pa imam: [inlmath]S_n=\frac{\color{red}m}{2}(2\cdot1+({\color{red}m}-1)\cdot2)[/inlmath]

Greška ti je obeležena crveno. Broj članova niza [inlmath]1,3,5,\ldots,m[/inlmath] nije [inlmath]m[/inlmath]. Broj članova niza [inlmath]1,2,3,4,5,\ldots,m[/inlmath] bi bio [inlmath]m[/inlmath], ali niz [inlmath]1,3,5,\ldots,m[/inlmath] (u kojem imamo samo neparne članove) nema isti broj članova kao niz [inlmath]1,2,3,4,5,\ldots,m[/inlmath] (u kojem imamo i parne i neparne članove).

Jedan od načina da odredimo broj članova niza [inlmath]1,3,5,\ldots,m[/inlmath] je – uočavanjem pravilnosti:

Za [inlmath]m=1[/inlmath], tj. u nizu koji se sastoji samo od člana [inlmath]1[/inlmath], imamo taj [inlmath]1[/inlmath] član.
Za [inlmath]m=3[/inlmath], tj. u nizu [inlmath]1,3[/inlmath], imamo [inlmath]2[/inlmath] člana.
Za [inlmath]m=5[/inlmath], tj. u nizu [inlmath]1,3,5[/inlmath], imamo [inlmath]3[/inlmath] člana.
Za [inlmath]m=7[/inlmath], tj. u nizu [inlmath]1,3,5,7[/inlmath], imamo [inlmath]4[/inlmath] člana.
[inlmath]\cdots[/inlmath]
Uočimo pravilnost [inlmath]\Rightarrow[/inlmath] u nizu [inlmath]1,3,5,\ldots,m[/inlmath] imamo [inlmath]\frac{m+1}{2}[/inlmath] članova.

---

Do broja članova niza možemo, umesto uočavanjem pravilnosti, doći i malo eksplicitnije:
Broj članova niza [inlmath]1,3,5,\ldots,m[/inlmath] jednak je razlici broja članova niza [inlmath]1,2,3,4,5,\ldots,m[/inlmath] i broja članova niza [inlmath]2,4,6,\ldots,m-1[/inlmath].
Broj članova niza [inlmath]1,2,3,4,5,\ldots,m[/inlmath] iznosi, naravno, [inlmath]m[/inlmath].
Niz [inlmath]2,4,6,\ldots,m-1[/inlmath] ima isto onoliko članova koliko i niz s dvostruko manjim članovima, [inlmath]1,2,3,\ldots,\frac{m-1}{2}[/inlmath], a koji ima [inlmath]\frac{m-1}{2}[/inlmath] članova.

Znači, broj članova niza [inlmath]1,3,5,\ldots,m[/inlmath] jednak je
[dispmath]m-\frac{m-1}{2}=\frac{m+1}{2}[/dispmath]
Prema tome, u formulu za sumu članova niza [inlmath]1+3+5+\cdots+m[/inlmath] kao broj članova niza ne uvrštavaš [inlmath]m[/inlmath], već [inlmath]\frac{m+1}{2}[/inlmath].

Hvala puno, da li se dobije da je [inlmath]x=8278[/inlmath]?

Kako da naucim odredjivati clanove niza? Ima li neka najlaksa metoda? Ne vezano za ovaj niz, vec za neke druge?

indira-aa je napisao:Hvala puno, da li se dobije da je [inlmath]x=8278[/inlmath]?

Jeste, [inlmath]x=8278[/inlmath].

indira-aa je napisao:Kako da naucim odredjivati clanove niza? Ima li neka najlaksa metoda? Ne vezano za ovaj niz, vec za neke druge?

Nemoguće je dati neko posebno uputstvo. Samo logika i razmišljanje, baš kao u ovom zadatku. I, na kraju, obavezno proveri da li se dobijeni izraz uklapa za nekoliko različitih vrednosti promenljive koja figuriše u tom izrazu. Na primer, u ovom zadatku, pošto dobiješ da je broj članova niza jednak [inlmath]\frac{m+1}{2}[/inlmath], proveriš da li to važi za [inlmath]m=1[/inlmath], za [inlmath]m=3[/inlmath], za [inlmath]m=5[/inlmath]...

Za [inlmath]m=1[/inlmath], niz ima jedan član, [inlmath]1[/inlmath]. Broj članova niza je, po formuli, [inlmath]\frac{m+1}{2}=\frac{1+1}{2}=1[/inlmath]

Za [inlmath]m=3[/inlmath], niz je [inlmath]1,3[/inlmath], tj. ima [inlmath]2[/inlmath] člana. Po formuli, [inlmath]\frac{m+1}{2}=\frac{3+1}{2}=2[/inlmath]

Za [inlmath]m=5[/inlmath], niz je [inlmath]1,3,5[/inlmath], tj. ima [inlmath]3[/inlmath] člana. Po formuli, [inlmath]\frac{m+1}{2}=\frac{5+1}{2}=3[/inlmath]

Hvala ti, a kako bi npr, odredila sumu za ovaj niz:
[dispmath]1\cdot 2+2\cdot 3+\cdots +n(n+1)\;?[/dispmath]

viewtopic.php?p=219#p219

I molim te da pitanja koja nemaju veze s tekućom temom postavljaš u zasebnu temu (Pravilnik, tačka 10.)