Kako se resava iracionalna jednacina ako imamo kubni koren? Na primer:
Ako [inlmath]x[/inlmath] zadovoljava jednacinu [inlmath]\sqrt[3]{x+9}-\sqrt[3]{x-9}=3[/inlmath], kom intervalu tada pripada [inlmath]x^2[/inlmath]?
Index stranica ‹ OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ‹ ALGEBRA
Iracionalna jednacina s kubnim korenima
Pregled za štampanje • Pregled za štampanje svih postova u temi • 25 Posta
• Stranica 1 od 3 • 1, 2, 3
Iracionalna jednacina s kubnim korenima
od Ilija » Subota, 04. April 2015, 11:55
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Re: Iracionalna jednacina s kubnim korenima
od Gamma » Subota, 04. April 2015, 12:14
Veoma slično samo moraš sve dići na treći stepen.
Re: Iracionalna jednacina s kubnim korenima
od Ilija » Subota, 04. April 2015, 12:27
I pretpostavio sam, ali reko bolje da pitam. 
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Re: Iracionalna jednacina s kubnim korenima
od Gamma » Subota, 04. April 2015, 12:36
Pa to je i jedini način da se oslobodiš trećeg stepena.
Re: Iracionalna jednacina s kubnim korenima
od Daniel » Subota, 04. April 2015, 12:36
@Gamma, jesi li pokušao ovaj zadatak da rešiš na taj način?
Jednačine s kubnim korenima imaju prednost nad jednačinama s kvadratnim korenima u tome što nije potrebno postavljati uslove nenegativnosti potkorene veličine i nije potrebno postavljati uslove pri dizanju jednačina na treći stepen kao što je potrebno pri kvadriranju. Ali, imaju i manu što se dizanjem na treći stepen dobiju nezgodni izrazi kad imamo ovako dva kubna korena.
U ovoj temi je izložen zanimljiv postupak rešavanja jedne slične jednačine, koji bi se mogao primeniti i na ovaj zadatak, čime se na prilično elegantniji način dolazi do rešenja.
Jednačine s kubnim korenima imaju prednost nad jednačinama s kvadratnim korenima u tome što nije potrebno postavljati uslove nenegativnosti potkorene veličine i nije potrebno postavljati uslove pri dizanju jednačina na treći stepen kao što je potrebno pri kvadriranju. Ali, imaju i manu što se dizanjem na treći stepen dobiju nezgodni izrazi kad imamo ovako dva kubna korena.
U ovoj temi je izložen zanimljiv postupak rešavanja jedne slične jednačine, koji bi se mogao primeniti i na ovaj zadatak, čime se na prilično elegantniji način dolazi do rešenja.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Re: Iracionalna jednacina s kubnim korenima
od Ilija » Subota, 04. April 2015, 12:56
Ako sad uvedem smenu [inlmath]u=\sqrt[3]{x+9}[/inlmath] i [inlmath]v=\sqrt[3]{x-9}[/inlmath] dobijem sistem:
[dispmath]u-v=3\\
u^3-v^3=18[/dispmath]
Posto je iz prve [inlmath]u=3+v[/inlmath], onda to svedem na kvadratnu [inlmath]v^2+3v+1=0[/inlmath], iz koje dobijem resenja [inlmath]v_1=\frac{-3+\sqrt5}{2}[/inlmath] i [inlmath]v_2=\frac{-3-\sqrt5}{2}[/inlmath], odnosno [inlmath]u_1=\frac{3+\sqrt5}{2}[/inlmath] i [inlmath]u_2=\frac{3-\sqrt5}{2}[/inlmath]. E sad, nesto mi se ne svidjaju ova resenja.
[dispmath]u-v=3\\
u^3-v^3=18[/dispmath]
Posto je iz prve [inlmath]u=3+v[/inlmath], onda to svedem na kvadratnu [inlmath]v^2+3v+1=0[/inlmath], iz koje dobijem resenja [inlmath]v_1=\frac{-3+\sqrt5}{2}[/inlmath] i [inlmath]v_2=\frac{-3-\sqrt5}{2}[/inlmath], odnosno [inlmath]u_1=\frac{3+\sqrt5}{2}[/inlmath] i [inlmath]u_2=\frac{3-\sqrt5}{2}[/inlmath]. E sad, nesto mi se ne svidjaju ova resenja.
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Re: Iracionalna jednacina s kubnim korenima
od Daniel » Subota, 04. April 2015, 13:00
Ne sviđaju se ni meni, 
ali to jesu tačna rešenja. 
Sad odatle nađi [inlmath]x[/inlmath] i dobićeš [inlmath]x=\pm4\sqrt5[/inlmath].
ali to jesu tačna rešenja. Sad odatle nađi [inlmath]x[/inlmath] i dobićeš [inlmath]x=\pm4\sqrt5[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Re: Iracionalna jednacina s kubnim korenima
od Gamma » Subota, 04. April 2015, 13:41
Daniel je napisao:@Gamma, jesi li pokušao ovaj zadatak da rešiš na taj način?
Jesam i uradio sam ga
Ni meni se ne sviđaju ova rješenja. Problem je jer [inlmath]u_1[/inlmath] i [inlmath]u_2[/inlmath] moramo stepenovati sa [inlmath]3[/inlmath] da bi našli [inlmath]x[/inlmath] a u rezultatu imamo kvadratni korijen a ne kubni. Sada ne znam uopšte kako doći do [inlmath]x[/inlmath] jer smeta taj kvadratni korijen.
Re: Iracionalna jednacina s kubnim korenima
od Ilija » Subota, 04. April 2015, 15:00
Pa imas da je [inlmath]u=\sqrt[3]{x+9}[/inlmath] kao smena. I sad ako je [inlmath]u_1=\frac{3+\sqrt5}{2}[/inlmath] i [inlmath]u_2=\frac{3-\sqrt5}{2}[/inlmath], dobijamo:
[dispmath]1)\hspace{5mm}\sqrt[3]{x+9}=\frac{3+\sqrt5}{2}[/dispmath]
i
[dispmath]2)\hspace{5mm}\sqrt[3]{x+9}=\frac{3-\sqrt5}{2}[/dispmath]
E sad, ja cu samo za prvi. Ako obe strane stavimo na treci stepen izraz ce da se svede na
[dispmath]x+9=\frac{\left(3+\sqrt5\right)^3}{2^3}[/dispmath]
To je dalje
[dispmath]x+9=\frac{27+27\sqrt5+45+5\sqrt5}{8}[/dispmath][dispmath]8x+72=72+32\sqrt5[/dispmath][dispmath]8x=32\sqrt5[/dispmath][dispmath]x=4\sqrt5[/dispmath]
Isto tako i za drugo resenje.
[dispmath]1)\hspace{5mm}\sqrt[3]{x+9}=\frac{3+\sqrt5}{2}[/dispmath]
i
[dispmath]2)\hspace{5mm}\sqrt[3]{x+9}=\frac{3-\sqrt5}{2}[/dispmath]
E sad, ja cu samo za prvi. Ako obe strane stavimo na treci stepen izraz ce da se svede na
[dispmath]x+9=\frac{\left(3+\sqrt5\right)^3}{2^3}[/dispmath]
To je dalje
[dispmath]x+9=\frac{27+27\sqrt5+45+5\sqrt5}{8}[/dispmath][dispmath]8x+72=72+32\sqrt5[/dispmath][dispmath]8x=32\sqrt5[/dispmath][dispmath]x=4\sqrt5[/dispmath]
Isto tako i za drugo resenje.
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Re: Iracionalna jednacina s kubnim korenima
od Gamma » Subota, 04. April 2015, 15:33
Ok. Rastavio si [inlmath]\sqrt5^3[/inlmath] kao [inlmath]\sqrt5^2\sqrt5=5\sqrt5[/inlmath]. Ja ovo nisam ni pokusavao uraditi do kraja čim sam vidio da se diže na treći stepen [inlmath]\sqrt5[/inlmath]. Imaš zadataka sličnih kod kojih se poslije veoma teško dođe do rezultata. Dok kod ovoga nije tako. Mislim izračuna se smjena a nepoznata iz smjene veoma teško se izražava. Meni djeluje dosta jednostavniji onaj način kojim sam ja radio, nema nikakve smjene odmah izraziš [inlmath]x[/inlmath].
25 Posta
• Stranica 1 od 3 • 1, 2, 3
Ko je OnLine
Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 6 gostiju