mislim da se ovaj zadatak moze uraditi uz pomoc izvoda, np ako je maximum iznad a minimum ispod [inlmath]x[/inlmath] ose i funkcija ima samo ta 2 ekstrema onda postoji samo jedna nula... ali isto tako moramo imati u vidu da mogu biti 2 maximuma iznad [inlmath]x[/inlmath] ose i jedan ispod i isto ima jedno rjesenje, ali se to sve da fino "isplanirati" da bi se uradio zadatak

nemam trenutno vremena da razradim ovu moju ideju, ali mislim da vrijedi pokusati

Evo te moje ideje.

Znači, imamo jednačinu [inlmath]x^4+2x^3+mx^2+2x+1=0[/inlmath]. Pošto odmah vidimo da [inlmath]x=0[/inlmath] ne može biti rešenje ove jednačine, možemo obe strane podeliti sa [inlmath]x^2[/inlmath]:
[dispmath]x^2+2x+m+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}=0\\
x^2+2x+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}=-m[/dispmath]
I sada posmatramo grafički i levu i desnu stranu. Desna strana je neka prava paralelna [inlmath]x[/inlmath]-osi, na rastojanju [inlmath]-m[/inlmath] od [inlmath]x[/inlmath]-ose (za [inlmath]m>0[/inlmath] prava je ispod [inlmath]x[/inlmath]-ose i za [inlmath]m<0[/inlmath] prava je iznad [inlmath]x[/inlmath]-ose).

Leva strana jednačine je neka funkcija čiji oblik možemo odrediti klasičnim ispitivanjem funkcije. Njene ekstreme određujemo izjednačavanjem njenog prvog izvoda s nulom,
[dispmath]\left.2x+2-\frac{2}{x^2}-\frac{2}{x^3}=0\quad\right/\cdot\frac{x^3}{2}\\
x^4+x^3-x-1=0\\
x^3\left(x+1\right)-\left(x+1\right)=0\\
\left(x+1\right)\left(x^3-1\right)=0\\
\Rightarrow\quad x=-1\;\lor\;x=1[/dispmath]
Uvrštavanjem ovih vrednosti u drugi izvod funkcije možemo potvrditi da su u pitanju minimumi.

I, funkcija će izgledati ovako nekako:


Dakle, minimumi funkcije na levoj strani jednačine jesu:
[dispmath]\left(-1\right)^2+2\left(-1\right)+\frac{2}{-1}+\frac{1}{\left(-1\right)^2}=1-2-2+1=-2[/dispmath]
i
[dispmath]1^2+2\cdot1+\frac{2}{1}+\frac{1}{1^2}=1+2+2+1=6[/dispmath]
Da bi postojala četiri realna i različita rešenja, tj. da bi prava [inlmath]y=-m[/inlmath] i funkcija [inlmath]x^2+2x+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}[/inlmath] imale četiri presečne tačke, sa grafika vidimo da prava [inlmath]y=-m[/inlmath] treba da bude iznad većeg od ova dva minimuma, tj. iznad vrednosti [inlmath]6[/inlmath]:
[dispmath]-m>6[/dispmath]
to jest
[dispmath]\enclose{box}{m<-6}[/dispmath]
Znači, ništa Kardanova formula, ništa nagađanje, ništa kubna jednačina. Preporuči komšiji, ako je zadovoljan ovim objašnjenjem, da se priključi našem forumu.

Daniele, svaka čast
Bio sam ubjeđen da se zadatak radi grafički. Samo ne znam kako mi nije palo na pamet da izdvojim [inlmath]m[/inlmath] samo. Samo sam bez veze zakomplikovao sa kvadratnom funkcijom. Mada to mi je na prvi pogled djelovalo nekako i primamljivo.

@desideri, ako bi mogao da pojasniš,

desideri je napisao:Jednačina [inlmath]\;x^4+2x^3+mx^2+2x+1=0;\quad m\in\mathbb{R}\;[/inlmath] ima četiri realna i različita rešenja akko (ako i samo ako) je...

Ja mu rekoh kratko i jasno (intuitivno) da je [inlmath]m[/inlmath] strogo manje od [inlmath]-6[/inlmath].
Nabadao sam

kako si uspeo intuicijom, tj. nabadanjem, da dođeš do [inlmath]m<-6[/inlmath]? Mislim da bi bilo korisno i zanimljivo čuti i to razmišljanje.

Ma imao sam ponuđene odgovore, gde bih znao
Zato i rekoh da sam nabadao, ali ja pred vama nemam tajni.
Tvoj odgovor @Daniel je sjajan, ja ne znam šta više hoće na tom prijemnom, ovo je bilo kao neki 19. zadatak 2000. godina za Saobracajni ili Fon, Univerzitet u Beogradu.
Ja sam ovo stavio u rubriku "Polinomi" jer sam mislio da može nešto i preko Vietovih pravila, ali to verovatno fantaziram...

Možemo, što se mene tiče, prebaciti u „Algebru“...