forzajuve je napisao:Jednacina [dispmath]\left|-x^2+5x-4\right|=ax[/dispmath] ima cetiri realna resenja ako i samo ako parametar [inlmath]a[/inlmath] pripada kom intervalu? Hvala unapred

Skiciraš najpre grafik funkcije [inlmath]f(x)=\left|-x^2+5x-4\right|[/inlmath]. To uradiš tako što nacrtaš grafik funkcije [inlmath]f(x)=-x^2+5x-4[/inlmath] i deo ispod [inlmath]x[/inlmath]-ose prebaciš iznad nje.
Dobićeš ovako nešto (ovo moje je vrlo gruba skica)

Za [inlmath]a=0[/inlmath] dobijamo kvadratnu jednačinu [inlmath]-x^2+5x-4 =0[/inlmath] koja ima dva rešenja.
Za [inlmath]a\neq 0[/inlmath] grafik funkcije [inlmath]g(x)=ax[/inlmath] je prava koja prolazi kroz koordinatni početak. Ovde [inlmath]a[/inlmath] pretstavlja koeficijent pravca.
Da bi jednačina [inlmath]\left|-x^2+5x-4\right|=ax[/inlmath] imala 4 rešenja, ta prava mora seći grafik funkcije [inlmath]f(x)=\left|-x^2+5x-4\right|[/inlmath] u 4 tačke.
Recimo, ovako:

To će biti ispunjeno za sve prave između ove dve naznačene na slici:

Jedna od tih pravih je [inlmath]y=0[/inlmath], pa je njen koeficijent pravca [inlmath]0[/inlmath].
Koeficijent pravca druge prave možemo naći tako što znamo da maksimum funkcije [inlmath]y=-x^2+5x-4[/inlmath] pripada toj pravoj. Kako je to tačka [inlmath]\left(\frac{5}{2},\frac{9}{4}\right)[/inlmath], [inlmath]\frac{9}{4}=k\cdot\frac{5}{2}[/inlmath], tj. [inlmath]k=0,9[/inlmath].
Zaključujemo da za sve vrednosti [inlmath]a\in\left(0,\frac{9}{10}\right)[/inlmath] polazna jednačina ima 4 rešenja.

Hvala na odgovoru. U resenju stoji da [inlmath]a\in(0,1)[/inlmath]. Deluje mi kao da je malo kompleksniji zadatak. A i na netu sam trazio dosta ovakvih zadataka ali slabo sta sam nasao. Hvala jos jednom. Moracu jos da se pozabavim ovim tipovima zadataka. Ja sam nesto pokusavao ali slabo mi ide sa ovim parametrima

U pravu si za to rešenje [inlmath]a\in\left(0,1\right)[/inlmath], sad proverih na Wolphramalphi.
Milovanu i meni je promaklo to, da ne treba kao graničan slučaj da tražimo da prava [inlmath]ax[/inlmath] sadrži teme kvadratne funkcije, već u graničnom slučaju treba da tangira parabolu, a tačka dodira neće biti teme parabole, već će biti malo „levlje“ od temena.

Zasad imam jednu ideju kako bismo ovo mogli uraditi, a razmisliću da li postoji i još neki lepši način.

Vrednost [inlmath]a[/inlmath] za koje zadata jednačina ima četiri rešenja mogli bismo odrediti tako što postavimo uslov da prava [inlmath]ax[/inlmath] ima dve presečne tačke s ovim „jastučićem“ funkcije, da ga tako nazovem, koji ima teme okrenuto nagore. Taj „jastučić“ je deo kvadratne funkcije [inlmath]-x^2+5x-4[/inlmath]. Znači, treba da izjednačimo [inlmath]-x^2+5x-4[/inlmath] sa [inlmath]ax[/inlmath], pri čemu ćemo dobiti kvadratnu jednačinu, a da bi ta kvadratna jednačina imala dva rešenja, potrebno je da njena diskriminanta bude strogo veća od nule:[dispmath]-x^2+5x-4=ax[/dispmath][dispmath]x^2+\left(a-5\right)x+4=0[/dispmath][dispmath]D=\left(a-5\right)^2-16>0[/dispmath][dispmath]D=a^2-10a+9>0[/dispmath]Rešavanjem ove kvadratne jednačine dobije se da je [inlmath]a<1[/inlmath] ili da je [inlmath]a>9[/inlmath].
E sad, geometrijski gledano, [inlmath]a<1[/inlmath] odgovara ovom slučaju koji tražimo, tj. tad bismo imali dva preseka s ovim našim „jastučićem“, dok bi [inlmath]a>9[/inlmath] odgovaralo slučaju kada se prava [inlmath]ax[/inlmath] toliko „uspravi“ da počne da preseca levi krak parabole [inlmath]-x^2+5x-4[/inlmath], koji bi se nalazio negde skroz „dole“, u III kvadrantu, ali taj slučaj nas ovde ne interesuje, pošto, zbog apsolutne vrednosti, nama će taj krak, zapravo, biti gore, u II kvadrantu.
Znači, ostaje nam samo [inlmath]a<1[/inlmath], a pošto, kako Milovan napisa, mora biti zadovoljeno i [inlmath]a>0[/inlmath], dobijamo rešenje [inlmath]a\in\left(0,1\right)[/inlmath].

Al' kô što rekoh, razmisliću i da li postoji neko elegantnije rešenje.

Evo još jednog načina.

Jednačinu [inlmath]\left|-x^2+5x-4\right|=ax[/inlmath] podelimo sa [inlmath]x[/inlmath], čime ne narušavamo jednakost, osim za [inlmath]x=0[/inlmath], ali pošto za [inlmath]x=0[/inlmath] jednačina ionako nije zadovoljena (s leve strane bi bilo [inlmath]4[/inlmath], s desne [inlmath]0[/inlmath]), možemo smatrati da se deljenjem sa [inlmath]x[/inlmath] ništa ne menja:
[dispmath]\frac{\left|-x^2+5x-4\right|}{x}=a[/dispmath]
S desne strane nam je ostala samo konstanta, tj. parametar [inlmath]a[/inlmath], što će dosta olakšati postupak nalaženja broja rešenja jednačine u zavistnosti od [inlmath]a[/inlmath].
Pošto je [inlmath]x=\left|x\right|\cdot\mathrm{sgn}\left(x\right)[/inlmath], možemo pisati
[dispmath]\frac{\left|-x^2+5x-4\right|}{\left|x\right|\cdot\mathrm{sgn}\left(x\right)}=a[/dispmath][dispmath]\left|\frac{-x^2+5x-4}{x}\right|\cdot\mathrm{sgn}\left(x\right)=a[/dispmath][dispmath]\left|x-5+\frac{4}{x}\right|\cdot\mathrm{sgn}\left(x\right)=a[/dispmath]
Izraz s leve strane znaka jednakosti posmatramo kao neku funkciju [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] i skiciramo grafik te funkcije (onako kako se već ispituje funkcija – domen, nule, ekstremi, asimptote itd).
Grafik funkcije će izgledati ovako (obeleženo crvenom bojom):


Plavom bojom je obeležen pravac [inlmath]y=a[/inlmath], koji odgovara desnoj strani jednačine. Taj pravac, pošto predstavlja konstantu, paralelan je apscisi, a s povećanjem parametra [inlmath]a[/inlmath], translira se prema gore.
[inlmath]x[/inlmath]-koordinate preseka pravca [inlmath]y=a[/inlmath] s krivom funkcije [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] predstavljaju rešenja jednačine – prema tome, broj takvih preseka predstavlja broj rešenja jednačine.
Sa grafika se jasno vidi da će broj preseka biti četiri onda kada parametar [inlmath]a[/inlmath] ima vrednosti između [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath].