MATEMANIJA

Resiti jednacinu [inlmath]|x+2|-|x-2|=4[/inlmath]

Da li moze ovako:
Po definiciji apsolutne vrednosti, dobijamo:
[inlmath]x+2-x+2=4[/inlmath]. Odavde se vidi da ova jednacina vazi sa svako [inlmath]x[/inlmath] koje zadovoljava uslov [inlmath]x+2\ge0\;\;x-2\ge0[/inlmath]. A kako dalje?

Kod jednačina sa apsolutnom zagradom, ako se ne varam, treba za svaku apsolutnu zagradu da uzmeš u ozbir dva uslova: veće ili jednako nuli i manje od nule.
[dispmath]|x+2|=\begin{cases}
x+2\ge0, & x\ge-2\\
x+2<0, & x<-2
\end{cases}\\[2em]
|x-2|=\begin{cases}
x-2\ge0, & x\ge2\\
x-2<0, & x<2
\end{cases}[/dispmath]
E, sad, fazon je u tome što imaš četiri slučaja:
[dispmath](1)\phantom{333}x\ge-2\phantom{33}\land\phantom{33}x\ge2\\
(2)\phantom{333}x\ge-2\phantom{33}\land\phantom{33}x<2\\
(3)\phantom{333}x<-2\phantom{33}\land\phantom{33}x\ge2\\
(4)\phantom{333}x<-2\phantom{33}\land\phantom{33}x<2\\[/dispmath]
Za svaki od ova četiri slučaja uradi presek, npr. za prvi slučaj bi ti presek bio [inlmath]x\ge2[/inlmath]. I neka ti to budu četiri uslova.

Nakon toga, rešavaćeš četiri jednačine, tako što ćeš, zavisno od uslova, birati odgovarajući predznak za zagradu. Odradiću ti drugi slučaj.

Dakle, vidimo da nam za drugi slučaj treba [inlmath]x+2\ge0[/inlmath] i [inlmath]x-2<0[/inlmath]. U jednačinu ćemo ubaciti ove slučajeve, ali tako što ćemo za one koji su manji od nule, stavljati minus ispred zagrade (u ovom slučaju je to drugi izraz):
[dispmath]x+2-\big(-(x-2)\big)=4[/dispmath]
Ovde ćeš dobiti neko [inlmath]x[/inlmath], pa napravi presek sa uslovom koji važi za dati drugi primer i dobićeš rešenja za taj slučaj. Kada rešiš sve slučajeve, onda opet uradi presek i to bi bilo to.

EDIT: Evo i ovde nečeg što ti možda bude od pomoći.

---

Neka me neko od iskusnih matematičara ispravi, ako sam pogrešio nešto.

Ok je sve, Stevane. Mozda bi jedino valjalo napomenuti da je treci slucaj nemoguc, pa ostaju svega tri slucaja. I nisi u pravu za presek, treba da trazis uniju resenja koja dobijes u pojedinacnim slucajevima.

Za [inlmath]x<-2[/inlmath] nema resenja, za [inlmath]-2\le x<2[/inlmath] takodje. Svi brojevi [inlmath]x\ge2[/inlmath] zadovoljavaju jednacinu.

Možeš raditi i korišćenjem tabela, tako što uočiš kritične (granične) vrednosti za [inlmath]x[/inlmath] kod kojih neki od izraza unutar apsolutnih vrednosti menja znak. To će biti vrednosti [inlmath]x=-2[/inlmath] i [inlmath]x=2[/inlmath].

Zatim formiraš tabelu s kolonama [inlmath]x<-2[/inlmath], [inlmath]-2\le x<2[/inlmath] i [inlmath]x\ge2[/inlmath], a u redove tabele staviš svaku od tih apsolutnih vrednosti i, na kraju, u poslednjem redu, i njihovu razliku [inlmath]\left|x+2\right|-\left|x-2\right|=4[/inlmath].

Detaljan postupak s tabelom možeš videti u ovom zadatku, koji je vrlo sličan.

Pozdrav!
Zadatak:
[dispmath]|x+3|=|2x-1|+2[/dispmath]
Počeo sam ovako:
[dispmath]x+3=2x-1+2\\
x-2x=-1+2-3\\
x=2[/dispmath]
I da li sada ide:
[dispmath]x+3=-2x+1+2[/dispmath]
Dalje sam zapeo, može li pomoć, Hvala.

Ovo prvo riješenje [inlmath]x=2[/inlmath] je tačno.I ovo drugo treba da se dobije [inlmath]x=0[/inlmath] I to su dva riješenja ove jednačine.