MATEMANIJA

Odrediti sve vrednosti realnog parametra [inlmath]a[/inlmath] za koje nejednakost
[dispmath]25^x+4(a-1)5^x+a>1[/dispmath] vazi za sve [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath].

Moj postupak je sledeci:
[dispmath]\left(5^x\right)^2+4(a-1)5^x+a-1>0[/dispmath] smena [inlmath]5^x=t,\;t>0[/inlmath]
[dispmath]t^2+4(a-1)t+a-1>0[/dispmath][dispmath]a>0,\;D<0[/dispmath][dispmath]16\left(a^2-2a+1\right)-4a+4<0[/dispmath][dispmath]16a^2-32a+16-4a+4<0[/dispmath][dispmath]\left.16a^2-36a+20<0\quad\right/4[/dispmath][dispmath]4a^2-9a+5<0[/dispmath][dispmath]a_1=\frac{5}{4},\;a_2=1[/dispmath][dispmath]a\in\left(1,\frac{5}{4}\right)[/dispmath] E sada, u resenju se navodi ovo sto sam upravo napisao ali i jos se trazi i minimum [inlmath]f(t)[/inlmath] a zasto ne znam, tako da konacno resenje ispadne drugacije..Pa ako moze mala pomoc kako da nastavim dalje..

nikolalosic je napisao:[dispmath]a>0,\;D<0[/dispmath]

Razumem zašto si napisao [inlmath]D<0[/inlmath], na taj način si teme parabole, a samim tim i celu parabolu, postavio iznad [inlmath]x[/inlmath]-ose. Ali, ne razumem na osnovu čega si izvukao uslov da je [inlmath]a>0[/inlmath]?

Prevideo si slučaj kada kvadratna funkcija [inlmath]t^2+4\left(a-1\right)t+a-1[/inlmath] ima dve realne i različite nule i to obe negativne. U tom slučaju, za svako pozitivno [inlmath]t[/inlmath] kvadratna funkcija bi imala pozitivnu vrednost. A pošto ionako imamo uslov [inlmath]t>0[/inlmath], sledi da bi tada vrednost te kvadratne funkcije uvek bila pozitivna, bez obzira na to što se teme kvadratne funkcije nalazi ispod [inlmath]x[/inlmath]-ose. Zbog toga je to slučaj koji takođe treba razmatrati, a skup rešenja [inlmath]a[/inlmath] koji zadovoljava taj slučaj treba pridodati onom skupu rešenja koji si već dobio.

Pogledaj i ovaj zadatak, u njemu smo imali identičnu nejednačinu, doduše s nešto drugačijim tekstom samog zadatka, ali tu sam prilično detaljno opisao postupak rešavanja, i to na nekoliko načina, pa ti nešto od toga verovatno može biti od koristi.

Nisam dobro napisao, kada sam napisao [inlmath]a>0[/inlmath] mislio sam na [inlmath]a[/inlmath] kao koeficijent uz kvadratni clan, izvinjavam se
Da li bih mogao ovako da dodjem do resenja, tj. znam da mogu, samo ne znam da li je potpuno ispravan nacin ni da li bih mogao isti da upotrebim pri resavanju drugog zadatka ovoga tipa:
Posmatramo sledecu nejednacinu kada se [inlmath]1[/inlmath] prebaci sa druge strane:
[dispmath]\left(5^x\right)^2+4(a-1)5^x+a-1>0[/dispmath] Tri slucaja:
[dispmath]a=1,\;a>1,\;a<1[/dispmath] Broj [inlmath]1[/inlmath] uzimam zbog toga sto se [inlmath]a-1[/inlmath] nalazi uz [inlmath]5^x[/inlmath] pa bi tako doslo do "eliminacije" ovog clana.
1) Ako uzmemo da je [inlmath]a=1[/inlmath] jasno se vidi da je izraz uvek pozitivan sto znaci [inlmath]a\in\{1\}[/inlmath]
2) [inlmath]a>1[/inlmath] isti slucaj kao i prvi, koji god broj da se uzme za [inlmath]a[/inlmath] a da je veci od [inlmath]1[/inlmath] jasno se vidi da ce izraz biti pozitivan za svako [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath] pa iz toga zakljucujemo i da je [inlmath]a>1[/inlmath]
3) [inlmath]a<1[/inlmath] iz ovog slucaja se vidi da izraz nece biti pozitivan ni za jedno [inlmath]x[/inlmath].
Na osnovu ovih slucajeva zakljucujemo da [inlmath]a\in[1,+\infty)[/inlmath]
Nekako mi je previse komplikovan postupak na tom linku sto si mi okacio. I u zbirci je navedeno nesto slicno ovome sto sam napisao. Prvo je odredjen minimum funkcije pomocu izvoda i dobije se da je [inlmath]t=2-2a[/inlmath]. U svakom slucaju evo resenja iz zbirke, pa ako mozes ovo da mi objasnis jer deluje mnoooogo jednostavnije nego ono sto si mi okacio..

---

Rešenje. Uvedimo smenu [inlmath]t=5^x[/inlmath]. Primetimo da je [inlmath]t>0[/inlmath]. Data nejednakost važi ako i samo ako je
[dispmath]t^2+4(a-1)t+a-1>0,\quad\text{za }t>0.[/dispmath] Neka je [inlmath]f(t)=t^2+4(a-1)t+a-1[/inlmath]. Vrednost promenljive [inlmath]t[/inlmath] za koju funkcija [inlmath]f(t)[/inlmath] dostiže minimalnu vrednost se određuje iz uslova
[dispmath]f'(t)=0,\quad\text{tj.}\quad2t+4(a-1)=0.[/dispmath] Iz poslednjeg uslova se dobija [inlmath]t=2-2a[/inlmath]. Za [inlmath]a>1[/inlmath] je [inlmath]2-2a<0[/inlmath], pa je [inlmath]f(t)>0[/inlmath] za svako [inlmath]t>0[/inlmath] ako i samo ako je [inlmath]f(0)=a-1>0[/inlmath], tj. za [inlmath]a>1[/inlmath]
Za [inlmath]a=1[/inlmath] je [inlmath]f(t)=t^2[/inlmath], pa je [inlmath]f(t)>0[/inlmath] za svako [inlmath]t>0[/inlmath].
Za [inlmath]a<1[/inlmath] je [inlmath]t=2-2a>0[/inlmath], pa je [inlmath]f(t)>0[/inlmath] za svako [inlmath]t>0[/inlmath] ako i samo ako [inlmath]f(t)[/inlmath] nema realnih nula tj. ako i samo ako je
[dispmath]D(a)=[4(a-1)]^2-4(a-1)<0,[/dispmath] što je ispunjeno za [inlmath]\displaystyle a\in\left(1,\frac{5}{4}\right)[/inlmath].
Prema tome, skup svih vrednosti realnog parametra [inlmath]a[/inlmath] za koje važi data nejednakost za svako [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath] je [inlmath][1,+\infty)[/inlmath].

nikolalosic je napisao:3) [inlmath]a<1[/inlmath] iz ovog slucaja se vidi da izraz nece biti pozitivan ni za jedno [inlmath]x[/inlmath].

Ne znam kako si izveo ovaj zaključak, a osim toga, on nije ni sasvim tačan. Tačno je da za [inlmath]a<1[/inlmath] izraz neće za svako [inlmath]x[/inlmath] biti pozitivan, ali će biti pozitivan za neke vrednosti [inlmath]x[/inlmath]. Primer:
[dispmath]a=0,\;x=1\\
25^1+4(0-1)5^1+0-1=25-4\cdot5-1=25-20-1=4>0[/dispmath] Postupak na linku koji sam ti dao jeste komplikovaniji, jer je i taj zadatak bio komplikovaniji – u njemu se tražilo da se odredi skup vrednosti [inlmath]x[/inlmath] u zavisnosti od parametra [inlmath]a[/inlmath] tako da nejednačina bude zadovoljena (bar sam ga ja tako razumeo), a u tvom zadatku se traži da se samo odredi parametar [inlmath]a[/inlmath] tako da nejednačina uvek bude zadovoljena.

Meni se ovo rešenje iz zbirke čini prilično jasno, da li možeš da preciziraš koji deo u njemu treba pojasniti?

Zadatak glasi: Odrediti sve vrednosti realnog parametra [inlmath]a[/inlmath] za koje nejednakost [inlmath]25^x+4(a-1)5^x+a>1[/inlmath] važi za sve [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath].

Kako sam počeo...
[dispmath]\left(5^x\right)^2+4(a-1)5^x+a-1>0[/dispmath][dispmath]5^x=t[/dispmath][dispmath]t^2+4(a-1)t+a-1>0[/dispmath][dispmath]D=-4ac+b^2=16a^2-36a+20[/dispmath][dispmath]4a^2-9a<-5[/dispmath][dispmath]a=\frac{9\pm\sqrt{81-80}}{8}\iff a=\frac{9\pm1}{8}[/dispmath][dispmath]a\in\left(1,\frac{5}{4}\right)[/dispmath]
Ovo što sam dobio kao rezultat jeste tačno, ali je nepotpuno. Kao što se vidi na slici ispod, i za vrednosti veće od [inlmath]\frac{5}{4}[/inlmath] nejednačina će biti iznad [inlmath]x[/inlmath]-ose. Malo sam se pogubio kod smene [inlmath]t[/inlmath], mislim da tu treba da se postave neki dodatni uslovi?

Da, prilikom uvođenja smene [inlmath]5^x=t[/inlmath], pošto [inlmath]5^x[/inlmath] mora biti veće od nule, postavljaš uslov i da je [inlmath]t>0[/inlmath].

Imali smo isti taj zadatak ranije, pogledaj rešenje koje je tamo dato. Spojiću kasnije ovu temu s tom postojećom. A možeš pogledati i ovaj zadatak, sličan je.

Dodao bih samo i da je intuitivno jasno da nejednakost važi ukoliko je [inlmath]a\ge1[/inlmath] jer je, kao što je Daniel i napisao, [inlmath]t>0[/inlmath] onda će i [inlmath]4\cdot5^x(a-1)[/inlmath] i [inlmath]a-1[/inlmath] iz [inlmath]25^x+4\cdot5^x(a-1)+a-1[/inlmath] biti veći ili jednaki nuli pa samim tim i čitav izraz će biti veći od nule.