MATEMANIJA

Odrediti proizvod realnih resenja jednacine
[dispmath]\log_3\frac{3}{x}\cdot (\log_2x)-\log_3\frac{x^3}{\sqrt 3}=\frac{1}{2}+\log_2\sqrt x[/dispmath]
Jedno resenje sam dobio, ali nikako da dobijem drugo tj. [inlmath]x=1[/inlmath]

Javlja mi se da si u nekom koraku izvršio nedozvoljeno skraćivanje izrazom [inlmath]\log_2x[/inlmath] (odnosno izrazom [inlmath]\log_3x[/inlmath], zavisno od načina na koji si radio), a koji može biti nula i to upravo onda kada je [inlmath]x=1[/inlmath].

Pa tako nekako... Ali napisao sam da [inlmath]x[/inlmath] ne moze da bude [inlmath]1[/inlmath]. A da li postoji postupak kojim dobijamo oba resenja?

Pa, nisi napisao da [inlmath]x[/inlmath] ne može biti [inlmath]1[/inlmath], napisao si da nikako da dobiješ rešenje [inlmath]x=1[/inlmath]...
[inlmath]x[/inlmath] može da bude [inlmath]1[/inlmath], u šta se možeš uveriti ako jedinicu uvrstiš umesto [inlmath]x[/inlmath] u datu jednačinu – biće zadovoljena. Prema tome, [inlmath]x=1[/inlmath] i treba da se dobije kao jedno od rešenja.

Ja znam za jedan jedini postupak rešavanja ovog zadatka (doduše, s dve podvarijante – u jednoj [inlmath]\log_3x[/inlmath] izražavamo preko [inlmath]\log_2x[/inlmath], a u drugoj obrnuto) i tim postupkom se dobiju oba rešenja... Sve što je potrebno to je primeniš one osnovne logaritamske identitete:
[inlmath]\log_c\frac{a}{b}=\log_ca-\log_cb\\
\log_aa=1\\
\log_ba^c=c\log_ba\\
\log_ba=\frac{\log_ca}{\log_cb}[/inlmath]
Ako bi napisao svoj postupak, mogao bih konkretno da ti kažem gde ti je propust...

Ja sam ovako dobio :
[dispmath](1-\log_3x)(\log_2x)=\frac{1}{2}\log_2x+3\log_3x[/dispmath]
Da li je u redu? I nikako da jedan logaritam izrazim preko drugog.

Do tog koraka ti je sve u redu. Dalje možeš raditi na jedan od dva načina, primenjujući identitet [inlmath]\log_ba=\frac{\log_ca}{\log_cb}[/inlmath]:

– prvi način je da [inlmath]\log_3x[/inlmath] napišeš kao [inlmath]\frac{\log_2x}{\log_23}[/inlmath] i uvedeš smenu [inlmath]\log_2x=t[/inlmath];

– drugi način je da [inlmath]\log_2x[/inlmath] napišeš kao [inlmath]\frac{\log_3x}{\log_32}[/inlmath] i uvedeš smenu [inlmath]\log_3x=t[/inlmath].

U principu, ovo i nisu dva načina, već dve varijante jednog istog načina.