MATEMANIJA

Resiti nejednacinu
[dispmath]\ln\left|\frac{x-1}{2x+1}\right|<0[/dispmath]
stavljam uslove da su [inlmath]\frac{x-1}{2x+1}>0[/inlmath] posto je to u log, [inlmath]2x+1>0[/inlmath] zbog razlomka i to mi daje da je resenje u intervalu [inlmath]x\in\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)\cup(1,\infty)[/inlmath]
e sad znam da za apsolutne vrednosti moram da proverim za [inlmath]x\geq0[/inlmath] i [inlmath]x<0[/inlmath] ali ovde vec imam ln tako da izraz unutra moda da bude pozitivan pa sam zato samo ostavio takav kakav je i dalje sam stavio
[dispmath]\frac{x-1}{2x+1}-1<0[/dispmath][dispmath]\frac{x-1-2x-1}{2x+1}<0[/dispmath][dispmath]\frac{-x-2}{2x+1}<0[/dispmath]
i to mi daje da je [inlmath]x\in(-\infty,-2)\cup\left(-\frac{1}{2},\infty\right)[/inlmath] i kada preklopim taj uslov sa pocetnim dobijem [inlmath]x\in(-\infty,-2)\cup(1,\infty)[/inlmath] ali u njihovom resenju stoji [inlmath]x\in(-\infty,-2)\cup(0,1)\cup(1,\infty)[/inlmath] odakle im taj dodatan interval??? i da li sam bio u pravo sto sam ostavio aps zagradu takva kava je ili sam morao da proverim za oba slucaja?

Odd one out je napisao:[dispmath]\ln\left|\frac{x-1}{2x+1}\right|<0[/dispmath]
stavljam uslove da su [inlmath]\frac{x-1}{2x+1}>0[/inlmath] posto je to u log, [inlmath]2x+1>0[/inlmath] zbog razlomka i to mi daje da je resenje u intervalu [inlmath]x\in\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)\cup(1,\infty)[/inlmath]

Ne, nije potreban uslov da je [inlmath]\frac{x-1}{2x+1}>0[/inlmath]. Tačno je da arugment logaritma mora biti veći od nule, ali ti ovde kao argument logaritma imaš izraz unutar apsolutne vrednosti, a apsolutna vrednost je uvek ili pozitivna ili nula. Znači, potrebno je samo da izraz unutar apsolutne vrednosti ne bude nula, a može biti i pozitivan i negativan, jer, ako je negativan, apsolutna vrednost će ga „pretvoriti“ u pozitivan. Znači, što se tiče logaritma, uslov je [inlmath]\left|\frac{x-1}{2x+1}\right|>0[/inlmath], a to znači [inlmath]\frac{x-1}{2x+1}\ne0[/inlmath].

Što se tiče samog razlomka, uslov je da je imenilac različit od nule, a ne veći od nule, kako si ti napisao. Znači, ne [inlmath]2x+1>0[/inlmath], već [inlmath]2x+1\ne0[/inlmath].

(Inače, sve i kad bi važili ti uslovi koje si napisao, [inlmath]\frac{x-1}{2x+1}>0[/inlmath] i [inlmath]2x+1>0[/inlmath], iz njih se ne bi dobio interval [inlmath]x\in\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)\cup\left(1,\infty\right)[/inlmath].)

Dakle, kad se oslobodiš logaritma dobićeš nejednačinu
[dispmath]\left|\frac{x-1}{2x+1}\right|<1[/dispmath]
koju zatim rešavaš za različite slučajeve u zavisnosti od predznaka razlomka pod apsolutnom vrednošću.