MATEMANIJA

Naleteo sam na jedan zadatak sa prijemnog iz 1991.godine, pa sam se malo zaglavio. Zadatak glasi:
Nejednacina: [inlmath]\alpha^2+2\alpha-\cos^2x-2\alpha\sin x>2[/inlmath] vazi za svako [inlmath]x[/inlmath] ako [inlmath]\alpha[/inlmath] pripada skupu?
E sad, ja sam malo sredio ovu nejednacinu i pisacu parametar [inlmath]a[/inlmath] umesto [inlmath]\alpha[/inlmath] posto mi je lakse da otkucam.
Posle sredjivanja dobije se: [dispmath]\sin^2x-2a\sin x+a^2+2a-3>0[/dispmath] i ako uvedemo smenu: [inlmath]\sin x=t[/inlmath] dobijamo:
[dispmath]t^2-2at+a^2+2a-3>0[/dispmath]
Da bi ovo bilo pozitvino za [inlmath]t\in\mathbb{R}[/inlmath] onda [inlmath]D<0[/inlmath] i [inlmath]a>0\quad(a=1)[/inlmath]. Nakon resavanja diskriminante dobije se [inlmath]a>\frac{3}{2}[/inlmath].

Ali ja sam zaboravio uslov da [inlmath]\sin x\in[-1,1][/inlmath] tj. [inlmath]t\in[-1,1][/inlmath] pa ne znam kako to da kombinujem sa ovim prethodnim resenjem.

Izracunao sam [inlmath]t_{1,2}[/inlmath]:
[dispmath]t_{1,2}=a\pm\sqrt{3-2a}[/dispmath] ali ubaciti ovo u uslov [inlmath]t\in[-1,1][/inlmath] cini mi se previse komplikovano. Ne znam da li postoji neki laksi nacin za racunanje?

Resenje u zbirci je da parametar [inlmath]a[/inlmath] tj. [inlmath]\alpha[/inlmath] pripada intervalu [inlmath]\left(-\infty,-2-\sqrt6\right)\cup\left(\sqrt2,+\infty\right)[/inlmath]

Evo slike koja pokriva sva tri slučaja kada kvadratna funkcija [inlmath]t^2-2at+a^2+2a-3>0[/inlmath] ima vrednost veću od nule za svako [inlmath]t\in\left[-1,1\right][/inlmath]:


Slučaj 1: To je ono što si već uradio. Diskrimanta je manja od nule, funkcija nema realne nule, pa je pozitivna za svako [inlmath]t[/inlmath].

Slučaj 2: Desna nula funkcije, [inlmath]a+\sqrt{3-2a}[/inlmath], manja je od [inlmath]-1[/inlmath], tako da se u intervalu [inlmath]t\in\left[-1,1\right][/inlmath] nalazi desni krak parabole koji je iznad [inlmath]x[/inlmath]-ose, tj. u kojem funkcija ima samo pozitivne vrednosti.

Slučaj 3: Leva nula funkcije, [inlmath]a-\sqrt{3-2a}[/inlmath], veća je od [inlmath]1[/inlmath], tako da se u intervalu [inlmath]t\in\left[-1,1\right][/inlmath] nalazi levi krak parabole koji je iznad [inlmath]x[/inlmath]-ose, tj. u kojem funkcija ima samo pozitivne vrednosti.

Prema tome, tražiš uniju rešenja sledećih slučajeva:
[dispmath]\begin{array}{ll}
1) & D<0\\
2) & a+\sqrt{3-2a}<-1\\
3) & a-\sqrt{3-2a}>1
\end{array}[/dispmath]

Hvala!

Zašto se ne uzima u obzir da je [inlmath]\alpha>\frac{3}{2}[/inlmath] (prvi slučaj)? I da li postoji neki drugi način da se razvrsta na ova tri slučaja ili samo da se uoči sa grafika?

Kako se ne uzima u obzir? Pa napisao sam uslov [inlmath]D<0[/inlmath], a on je ekvivalentan uslovu [inlmath]\alpha>\frac{3}{2}[/inlmath].

Ako postoji drugi način da se uradi ovaj zadatak – i mene bi zanimalo da ga vidim.

Znam, ali kada obelezim na brojevnoj pravi resenja, dobijam [inlmath]x\in\left(-\infty,-2-\sqrt6\right)\cup\left(\frac{3}{2},+\infty\right)[/inlmath]

Negde u postupku imaš grešku.
Deo levo od znaka unije ti je u redu, ali desno od znaka unije treba da stoji [inlmath]\sqrt2[/inlmath] umesto [inlmath]\frac{3}{2}[/inlmath].
Dakle, rešenje treba da bude
[dispmath]x\in\left(-\infty,-2-\sqrt6\right)\cup\left(\sqrt2,+\infty\right)[/dispmath]
Proveri svoj postupak. Ili ga napiši ovde, da pronađemo grešku.

Izvini, ali ja ne mogu da uočim gde grešim. Ako te ne bude mrzelo, pogledaj. Hvala ti.
[inlmath]I[/inlmath] slučaj: [inlmath]\alpha>\frac{3}{2}[/inlmath]
[dispmath]\alpha\in\left(\frac{3}{2},+\infty\right)[/dispmath]
[inlmath]II[/inlmath] slučaj: [inlmath]\alpha^2+4\alpha-2>0[/inlmath]
[dispmath]\alpha_1=-2+\sqrt6\\
\alpha_2=-2-\sqrt6\\
\alpha\in\left(-\infty,-2-\sqrt6\right)\cup\left(-2+\sqrt6,+\infty\right)[/dispmath]
[inlmath]III[/inlmath] slučaj: [inlmath]-\alpha^2+2>0[/inlmath]
[dispmath]\alpha_1=\sqrt2\\
\alpha_2=-\sqrt2\\
\alpha\in(-\sqrt2,\sqrt2)[/dispmath]
Sad kada prikažem sve na brojevnoj pravi, dobijam da je [inlmath]\alpha\in\left(-\infty,-2-\sqrt6\right)\cup\left(\frac{3}{2},+\infty\right)[/inlmath]

Rešenje za [inlmath]I[/inlmath] slučaj je OK. Praviš grešku kod rešavanja kvadratnih nejednačina.

[inlmath]II[/inlmath] slučaj: [inlmath]a+\sqrt{3-2a}<-1[/inlmath]

Prvo i osnovno, postavlja se uslov da je potkorena veličina [inlmath]\ge0[/inlmath], tj. [inlmath]a\le\frac{3}{2}[/inlmath].
Prebacimo [inlmath]a[/inlmath] na desnu stranu, tako da na levoj ostane samo koren:
[dispmath]\sqrt{3-2a}<-a-1[/dispmath]
E sada pre kvadriranja, pošto se kvadriranjem gubi informacija o predznaku leve i desne strane, moramo postaviti još jedan uslov. Pošto je leva strana [inlmath]\ge0[/inlmath], a desna strana je strogo veća od leve strane, sledi da desna strana mora biti strogo veća od nule, pa taj uslov i pišemo: [inlmath]-a-1>0[/inlmath], tj. [inlmath]a<-1[/inlmath]. To je uslov koji si zaboravila da postaviš. Tek nakon postavljanja ovog uslova, smemo da kvadriramo (pošto su obe strane pozitivne, kvadriranjem se ne menja smer znaka nejednakosti):
[dispmath]3-2a<\left(-a-1\right)^2\\
3-2a<a^2+2a+1\\
a^2+4a-2>0[/dispmath]
što je kvadratna nejednačina koju si i ti dobila, i njeno rešenje je, kako si i napisala, [inlmath]\alpha\in\left(-\infty,-2-\sqrt6\right)\cup\left(-2+\sqrt6,+\infty\right)[/inlmath]. Međutim, sad je potrebno da nađeš presek tog skupa rešenja i onog uslova postavljenog pre kvadriranja, da je [inlmath]a<-1[/inlmath], kao i uslova nenegativnosti potkorene veličine, [inlmath]a\le\frac{3}{2}[/inlmath]. Taj presek će biti [inlmath]\alpha\in\left(-\infty,-2-\sqrt6\right)[/inlmath] i to je konačno rešenje ovog [inlmath]II[/inlmath] slučaja.

---

[inlmath]III[/inlmath] slučaj: [inlmath]a-\sqrt{3-2a}>1[/inlmath]

Naravno, i ovde treba da postaviš odgovarajuće uslove (prepuštam sad to tebi), ali treba da vodiš računa i o još jednoj stvari koju vidim da si previdela, budući da si ovu nejednačinu svela na oblik [inlmath]-\alpha^2+2>0[/inlmath], umesto na ispravan oblik [inlmath]-\alpha^2+2<0[/inlmath].
Ako koren ostaviš na levoj strani tako da ispred njega ostane minus,
[dispmath]-\sqrt{3-2a}>1-a[/dispmath]
tada, pošto su očigledno obe strane nejednačine negativne, kvadriranjem bi se promenio smer znaka nejednakosti, pa bi to postalo
[dispmath]3-2a<\left(1-a\right)^2[/dispmath]
naravno, uz prethodno postavljene potrebne uslove...
Međutim, ako koren prebaciš na desnu stranu tako da ispred njega bude plus,
[dispmath]a-1>\sqrt{3-2a}[/dispmath]
tada se, nakon kvadriranja, pošto su obe strane sada pozitivne, ne menja smer znaka nejednakosti:
[dispmath]\left(a-1\right)^2>3-2a[/dispmath]
i, naravno, dobija se isti oblik nejednačine kao i kada smo koren ostavili na levoj strani. Dakle, svejedno je na koji ćeš od ova dva načina da radiš, bitno je samo da vodiš računa o smeru znaka nejednakosti nakon kvadriranja. Ako su obe strane nejednačine pozitivne, nakon kvadriranja se ne menja smer znaka jednakosti, a ako su negativne, promeniće se smer znaka nejednakosti.

---

Eto, [inlmath]II[/inlmath] slučaj sada imaš urađen kompletan, možeš li da uradiš do kraja [inlmath]III[/inlmath] slučaj, uz sve ove instrukcije?
Kao rešenje [inlmath]III[/inlmath] slučaja treba da se dobije [inlmath]a\in\left(\sqrt2,\frac{3}{2}\right][/inlmath].

Wooow covece, alal vera. Ma naravno da mogu Stvarno ti neizmerno hvala na ovako iscrpnom objašnjenju.