MATEMANIJA

Pozdrav,

zadatak koji me muči je:
[dispmath]\frac{3\cdot 3^{2x}-4\cdot 4^{2x}}{\left|-1+5^{x+1}\right|-4}<0[/dispmath]
Ideja mi je bila da ovaj razlomak posmatram kao dve jednačine, uradim svaku posebno, pa zatim nađem njihov znak znak. Sa gornjom nisam imao problema, ali me donja jako muči. Pa, ako neko može da uradi, bio bih jako zahvalan

Imaš mogućnost da je [inlmath]-1+5^x>0[/inlmath] ([inlmath]x>0[/inlmath]).
Tada se nejednačina svodi na:
[dispmath]\frac{3\cdot 3^{2x}-4\cdot 4^{2x}}{-1+5^{x+1}-4}<0[/dispmath][dispmath]\frac{3\cdot 3^{2x}-4\cdot 4^{2x}}{5\cdot 5^x-5}<0[/dispmath][dispmath]\frac{1}{5}\frac{3^{2x+1}-4^{2x+1}}{5^x-1}<0[/dispmath]
Kako je [inlmath]-1+5^x>0[/inlmath] nejednačina se svede na [inlmath]3^{2x+1}-4^{2x+1}<0[/inlmath], što je tačno za svako [inlmath]x>0[/inlmath].

Ako je [inlmath]-1+5^x\le 0[/inlmath] ([inlmath]x\le 0[/inlmath]) jednačina se svodi na:
[dispmath]\frac{3\cdot 3^{2x}-4\cdot 4^{2x}}{1-5^{x+1}-4}<0[/dispmath][dispmath]\frac{3\cdot 3^{2x}-4\cdot 4^{2x}}{3+5^{x+1}}>0[/dispmath]
Kako je [inlmath]3+5^{x+1}>0[/inlmath] svodimo ovaj slučaj na:
[dispmath]3\cdot 3^{2x}-4\cdot 4^{2x}>0[/dispmath]
Ovo se lako reši i dobije se [inlmath]x<-\frac{1}{2}[/inlmath]

Konačno rešenje je unija ovog i onog dobijenog za slučaj kada je [inlmath]x>0[/inlmath]. Dakle, [inlmath]x\in\left(-\infty,-\frac12\right)\cup (0,+\infty)[/inlmath]

Jasno. Hvala!