Rešiti jednačinu:
[dispmath]\sqrt{{a-x}\over{a+x}}-\sqrt{{a+x}\over{a-x}}=b[/dispmath]
gde je
[dispmath](a,b\in\mathbb{R},\;a\neq 0)[/dispmath]
Hvala puno, unapred! Ovaj forum je divno mesto za uznapredovanje znanja iz matematike. Hvala forumasima koji su aktivni kao i celom forum timu koji u ovom periodu pred prijemni pomazu buducim brucosima bezuslovno.

Hvala na lepim rečima. Ali očekujemo da se pridržavaš pravilnika, a član 6 podrazumeva da preciziraš šta ti tačno treba u tom zadatku. (ideja ili neki deo postupka, pod uslovom da navedeš šta si sam radio)

Ja ću ti dati ideju: uvedi smenu [inlmath]\sqrt{{a-x}\over{a+x}}=t[/inlmath]. Dobićeš kvadratnu jednačinu koju zatim rešiš, pa vratiš rešenje da nađeš [inlmath]x[/inlmath].

Pardon. Dakle ta smena je bila i moja prva ideja i onda imamo da je data jednacina definisana za
[dispmath]{a-x\over a+x}>0\quad\Leftrightarrow\quad{a^2-x^2\over (a+x)^2}>0\quad\Leftrightarrow\quad a^2-x^2>0\quad\Leftrightarrow\quad x^2<a^2\quad\Leftrightarrow\quad|x|<|a|[/dispmath]
Dakle smena
[dispmath]t=\sqrt{a-x\over a+x}\ge 0[/dispmath]
i onda imamo
[dispmath]t-{1\over t}=b,\;t\ge 0\quad\Leftrightarrow\quad t_{1,2}={b\pm\sqrt{b^2+4}\over 2}[/dispmath]
Kako je [inlmath]t_1={b-\sqrt{b^2+4}\over 2}<0[/inlmath], a [inlmath]t_2={b+\sqrt{b^2+4}\over 2}>0[/inlmath] trazeno resenje je [inlmath]t=t_2[/inlmath] pa imamo
[dispmath]\sqrt{a-x\over a+x}=t\quad\Leftrightarrow\quad{a-x\over a+x}={t_2}^2\quad\Leftrightarrow\quad x=a{1-{t_2}^2\over 1+{t_2}^2}[/dispmath]
a posto je [dispmath]{t_2}^2={1\over 2}\left(b^2+2+b\sqrt{b^2+4}\right)[/dispmath]
treba da zamenimo da dobijemo [inlmath]x[/inlmath] a moj problem je upravo tu, naime ne znam kako da upotrebim moje znanje iz algebre da nadjem [inlmath]x[/inlmath] zamenom [inlmath]t[/inlmath]. Molim vas pomozite.

milosacimovicmld je napisao:[dispmath]{a-x\over a+x}>0\quad\Leftrightarrow\quad{a^2-x^2\over (a+x)^2}>0\quad\Leftrightarrow\quad a^2-x^2>0\quad\Leftrightarrow\quad x^2<a^2\quad\Leftrightarrow\quad |x|<|a|[/dispmath]

Pošto uslov definisanosti korena nije pozitivnost potkorene veličine, već nenegativnost iste, tj. ona sme biti i jednaka nuli, svuda gde si ovde imao znake stroge nejednakosti treba, zapravo, da imaš i znak jednakosti:
[dispmath]\frac{a-x}{a+x}{\color{red}\ge}0\quad\Leftrightarrow\quad\cdots\quad\Leftrightarrow\quad\left|x\right|{\color{red}\le}\left|a\right|[/dispmath]

milosacimovicmld je napisao:[dispmath]\sqrt{a-x\over a+x}=t\quad\Leftrightarrow\quad{a-x\over a+x}={t_2}^2\quad\Leftrightarrow\quad x=a{1-{t_2}^2\over 1+{t_2}^2}[/dispmath]
a posto je [dispmath]{t_2}^2={1\over 2}\left(b^2+2+b\sqrt{b^2+4}\right)[/dispmath]
treba da zamenimo da dobijemo [inlmath]x[/inlmath] a moj problem je upravo tu, naime ne znam kako da upotrebim moje znanje iz algebre da nadjem [inlmath]x[/inlmath] zamenom [inlmath]t[/inlmath]. Molim vas pomozite.

Znači, uvrstiš izraz za [inlmath]t_2^2[/inlmath] u izraz za [inlmath]x[/inlmath]:
[dispmath]x=a\frac{1-\frac{1}{2}\left(b^2+2+b\sqrt{b^2+4}\right)}{1+\frac{1}{2}\left(b^2+2+b\sqrt{b^2+4}\right)}\quad\left/\cdot\frac{2}{2}\right.[/dispmath][dispmath]x=a\frac{\cancel 2-b^2-\cancel 2-b\sqrt{b^2+4}}{2+b^2+2+b\sqrt{b^2+4}}[/dispmath][dispmath]x=a\frac{-b^2-b\sqrt{b^2+4}}{b^2+4+b\sqrt{b^2+4}}[/dispmath][dispmath]x=-ab\frac{b+\sqrt{b^2+4}}{b^2+4+b\sqrt{b^2+4}}[/dispmath]
Pošto je [inlmath]b^2+4[/inlmath] u imeniocu uvek pozitivno, možemo ga napisati kao [inlmath]\sqrt{b^2+4}\sqrt{b^2+4}[/inlmath]:
[dispmath]x=-ab\frac{b+\sqrt{b^2+4}}{\sqrt{b^2+4}\sqrt{b^2+4}+b\sqrt{b^2+4}}[/dispmath][dispmath]x=-\frac{ab}{\sqrt{b^2+4}}\frac{b+\sqrt{b^2+4}}{\sqrt{b^2+4}+b}[/dispmath]
Pošto je [inlmath]b+\sqrt{b^2+4}\ne 0[/inlmath], možemo kratiti [inlmath]b+\sqrt{b^2+4}[/inlmath] u brojiocu i u imeniocu i ostaje:
[dispmath]\enclose{box}{x=-\frac{ab}{\sqrt{b^2+4}}}[/dispmath]