MATEMANIJA

Uzeo sam da obnovim ovu oblast i čini mi se da sam neka pravila uzeo zdravo za gotovo kada sam je učio, pa bih hteo sad to da razjasnim.

---

1. Za parno [inlmath]n[/inlmath], izraz...
[dispmath]\sqrt[n]{f(x)}=g(x)[/dispmath]
... treba da ispunjava uslove [inlmath]f(x)=[g(x)]^n,\:g(x)\ge 0[/inlmath].

Ali zbog čega se ne pominje [inlmath]f(x)\ge 0[/inlmath]?

---

2. Za parno [inlmath]n[/inlmath], izraz...
[dispmath]\sqrt[n]{f(x)}>g(x)[/dispmath]
... treba da ispunjava uslov da je [inlmath]x[/inlmath] rešenje makar jednog od ova dva sistema:
[dispmath]f(x)>[g(x)]^n,\:g(x)\ge 0\\
f(x)\ge 0,\:g(x)<0[/dispmath]
Zbog čega treba da bude rešenje samo jednog od ova dva sistema? Zašto ne oba?

stevan95 je napisao:1. Za parno [inlmath]n[/inlmath], izraz...
[dispmath]\sqrt[n]{f(x)}=g(x)[/dispmath]
... treba da ispunjava uslove [inlmath]f(x)=[g(x)]^n,\:g(x)\ge 0[/inlmath].

Ali zbog čega se ne pominje [inlmath]f(x)\ge 0[/inlmath]?

Mora da se pominje, jer je to neophodan uslov da bi jednačina uopšte bila definisana u realnom domenu.
* EDIT * Ne pominje se, jer, kada je [inlmath]g\left(x\right)\ge 0[/inlmath], tada je i [inlmath]\left[g\left(x\right)\right]^n\ge 0[/inlmath] (a čak i da nije [inlmath]g\left(x\right)\ge 0[/inlmath], opet bi bilo [inlmath]\left[g\left(x\right)\right]^n\ge 0[/inlmath] kada je [inlmath]n[/inlmath] parno kao što ovde jeste), a pošto je [inlmath]f\left(x\right)=\left[g\left(x\right)\right]^n[/inlmath], tada sledi i da je [inlmath]f\left(x\right)\ge 0[/inlmath].
Znači, uslov [inlmath]f\left(x\right)\ge 0[/inlmath] je već sadržan u sistemu [inlmath]f\left(x\right)=\left[g\left(x\right)\right]^n,\:g\left(x\right)\ge 0[/inlmath].

stevan95 je napisao:2. Za parno [inlmath]n[/inlmath], izraz...
[dispmath]\sqrt[n]{f(x)}>g(x)[/dispmath]
... treba da ispunjava uslov da je [inlmath]x[/inlmath] rešenje makar jednog od ova dva sistema:
[dispmath]f(x)>[g(x)]^n,\:g(x)\ge 0\\
f(x)\ge 0,\:g(x)<0[/dispmath]
Zbog čega treba da bude rešenje samo jednog od ova dva sistema? Zašto ne oba?

Prvo, odmah možeš videti da nikad neće biti zadovoljena oba sistema, jer je u jednom [inlmath]g\left(x\right)\ge 0[/inlmath], dok je u drugom [inlmath]g\left(x\right)<0[/inlmath], što su međusobno disjunktni slučajevi.

A, zašto je dovoljno da bude zadovoljen makar jedan od ta dva sistema – pa, iz sledećeg razloga:
Leva strana nejednačine uvek je [inlmath]\ge 0[/inlmath], jer na njoj imamo samo kvadratni koren, koji je uvek [inlmath]\ge 0[/inlmath]. Desna strana može biti i pozitivna i negativna, a pošto kvadiranjem, naravno, gubimo informaciju o predznaku desne strane, potrebno je da diskutujemo dva odvojena slučaja – kada je desna strana pozitivna ili nula i kada je desna strana negativna. Ako je desna strana pozitivna ili nula, tada možemo primeniti kvadriranje bez remećenja smera nejednakosti, jer su, pre kvadriranja, obe strane bile pozitivne (ili nula). Ako je desna strana negativna, tada je nejednakost uvek zadovoljena, jer je leva strana [inlmath]\ge 0[/inlmath].
Ja sam, recimo, navikao da rešenje tražim u obliku
[dispmath]f\left(x\right)\ge 0\;\land\;\left\{g\left(x\right)<0\;\lor\;f\left(x\right)>\left[g\left(x\right)\right]^n\right\}[/dispmath]
ali to je logički sasvim ekvivalentno ovom sistemu koji su oni ponudili, tako da je svejedno.

samo da se nadovezem

treba da ispunjava uslov da je [inlmath]x[/inlmath] rešenje makar jednog od ova dva sistema: [inlmath]f(x)>[g(x)]^n,\:g(x)\ge 0[/inlmath]

malo me buni, to sto se ne daju uslovi da se definise [inlmath]f(x)[/inlmath] posto je pod korenom, ono bi trebalo bitix [inlmath]f(x)\ge 0[/inlmath], ali posto je vec dat ovaj uslov [inlmath]g(x)\ge 0[/inlmath] onda bi umesto [inlmath]f(x)\ge 0[/inlmath] trebalo da stoji [inlmath]f(x)>0[/inlmath], ili to sto je [inlmath]g(x)\ge 0[/inlmath] ne utice na odredjivanje domena funkcije [inlmath]f[/inlmath] i treba da ostane [inlmath]f(x)\ge 0[/inlmath]?

Tu je došlo do objedinjavanja uslova.
Kao uslov definisanosti imamo [inlmath]f\left(x\right)\ge 0[/inlmath], ali istovremeno imamo i [inlmath]f(x)>[g(x)]^n[/inlmath].
Pošto je [inlmath][g(x)]^n\ge 0[/inlmath], uslov [inlmath]f(x)>[g(x)]^n[/inlmath] će biti „stroži“ od uslova [inlmath]f\left(x\right)\ge 0[/inlmath].
Drugim rečima, uslov [inlmath]f\left(x\right)\ge 0[/inlmath] je već sadržan unutar uslova [inlmath]f(x)>[g(x)]^n[/inlmath], pa zbog toga nema potrebe da uslov [inlmath]f\left(x\right)\ge 0[/inlmath] posebno pišemo.

ahm jasno
a kod tog prvog sistema sto je Stevan naveo [inlmath]f(x)\ge 0,\;g(x)<0[/inlmath], da li je isti efekat ako se umesto toga napise [dispmath]f(x)>0,\;g(x)\le 0[/dispmath] ?
i za oblik kada je
[inlmath]\sqrt{p(x)}<g(x)[/inlmath]
isto tako ima dva sistema i konačno je presek, tj. drugi je samo resavanje zadatka, a sto se tiče [inlmath]f(x)>0,\;g(x)\ge 0[/inlmath] posto se radi presek sa tim drugim sistemom, zar onda nije svejedno da li [inlmath]f(x)\ge 0,\;g(x)>0[/inlmath] i [inlmath]g(x)\ge 0,\;f(x)>0[/inlmath] ?
i kada izmedju izraya [inlmath]\sqrt{f(x)}<g(x)[/inlmath] i [inlmath]g(x)[/inlmath] nije [inlmath]>,<[/inlmath] vec [inlmath]\le,\ge[/inlmath] tada bi drugi uslov bio [inlmath]p(x)\ge g^2(x)[/inlmath] a prvi bi ostao isti?

jovica je napisao:a kod tog prvog sistema sto je Stevan naveo [inlmath]f(x)\ge 0,\;g(x)<0[/inlmath], da li je isti efekat ako se umesto toga napise [dispmath]f(x)>0,\;g(x)\le 0[/dispmath] ?

To je, valjda, drugi sistem?
Ne, nije isti efekat. [inlmath]g\left(x\right)\le 0[/inlmath] obuhvata u sebi i slučaj [inlmath]g\left(x\right)=0[/inlmath] i slučaj [inlmath]g\left(x\right)<0[/inlmath]. Istina je da u slučaju [inlmath]g\left(x\right)=0[/inlmath] mora biti [inlmath]f\left(x\right)>0[/inlmath], zbog stroge nejednakosti koja je zadata. Ali, u slučaju [inlmath]g\left(x\right)<0[/inlmath], pošto je leva strana nejednačine uvek [inlmath]\ge 0[/inlmath] kada je definisana, sama nejendačina će biti zadovoljena uvek kada je definisana. A definisana je za [inlmath]f\left(x\right)\ge 0[/inlmath].

To je razlog zbog kojeg za [inlmath]g\left(x\right)\le 0[/inlmath] ne možemo pisati [inlmath]f\left(x\right)>0[/inlmath] i zbog kojeg slučaj [inlmath]g\left(x\right)=0[/inlmath] ne možemo objediniti sa slučajem [inlmath]g\left(x\right)<0[/inlmath], već isključivo sa slučajem [inlmath]g\left(x\right)>0[/inlmath].

jovica je napisao:i za oblik kada je
[inlmath]\sqrt{p(x)}<g(x)[/inlmath]
isto tako ima dva sistema i konačno je presek, tj. drugi je samo resavanje zadatka, a sto se tiče [inlmath]f(x)>0,\;g(x)\ge 0[/inlmath] posto se radi presek sa tim drugim sistemom, zar onda nije svejedno da li [inlmath]f(x)\ge 0,\;g(x)>0[/inlmath] i [inlmath]g(x)\ge 0,\;f(x)>0[/inlmath] ?

Za oblik [inlmath]\sqrt{p\left(x\right)}<g\left(x\right)[/inlmath], kada je [inlmath]g\left(x\right)\le 0[/inlmath] tada nejednačina nema rešenja, jer leva strana mora biti [inlmath]\ge 0[/inlmath], pa u najpovoljnijem slučaju po [inlmath]g\left(x\right)[/inlmath], kada je leva strana jednaka nuli, sledi da mora biti [inlmath]g\left(x\right)>0[/inlmath]. Dakle, ako je [inlmath]g\left(x\right)\le 0[/inlmath], tada nema šta dalje da proveravamo – jednačina nema rešenja.
Znači, u ovom slučaju postoji samo jedan sistem i on glasi:
[dispmath]0\le p\left(x\right)<\left[g\left(x\right)\right]^2,\;g\left(x\right)>0[/dispmath]

jovica je napisao:i kada izmedju izraya [inlmath]\sqrt{f(x)}<g(x)[/inlmath] i [inlmath]g(x)[/inlmath] nije [inlmath]>,<[/inlmath] vec [inlmath]\le,\ge[/inlmath] tada bi drugi uslov bio [inlmath]p(x)\ge g^2(x)[/inlmath] a prvi bi ostao isti?

Negde koristiš oznaku [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath], a negde [inlmath]p\left(x\right)[/inlmath], što vrlo zbunjuje. Molim te da vodiš računa o tome.

Kada bismo imali [inlmath]\sqrt{f\left(x\right)}\ge g\left(x\right)[/inlmath], tada bi bilo svejedno da li bismo pisali sisteme
[dispmath]f\left(x\right)\ge\left[g\left(x\right)\right]^2,\;g\left(x\right)\ge 0\\
f\left(x\right)\ge 0,\;g\left(x\right)<0[/dispmath]
ili sisteme
[dispmath]f\left(x\right)\ge\left[g\left(x\right)\right]^2,\;g\left(x\right)>0\\
f\left(x\right)\ge 0,\;g\left(x\right)\le 0[/dispmath]
jer bi i jedno i drugo bilo tačno. To jest, svejedno je da li ćemo slučaj [inlmath]g\left(x\right)=0[/inlmath] objediniti sa slučajem [inlmath]g\left(x\right)>0[/inlmath] ili sa slučajem [inlmath]g\left(x\right)<0[/inlmath].

Kada bismo imali [inlmath]\sqrt{f\left(x\right)}\le g\left(x\right)[/inlmath], tada bismo pisali sistem
[dispmath]0\le f\left(x\right)\le\left[g\left(x\right)\right]^2,\;g\left(x\right)\ge 0[/dispmath]

---

Što se tiče Stevanovog prvog pitanja, u vezi s jednačinom
[dispmath]\sqrt[n]{f(x)}=g(x)[/dispmath]
korigovao sam svoj odgovor, pa vas molim da obratite pažnju.

izvinjavam se na notaciji, prepisivao sam iz knjige a hteo sam da napisem tim oznakama kojima je Stevan vec krenuo aham, jasnije mi je sada, hvala na odgovoru