MATEMANIJA

Rešiti nejednačinu:
[dispmath]\frac{1}{2^{2x}+3}\ge\frac{1}{2^{x+2}-1}[/dispmath]
Ovako, posle malo sređivanja, uveo sam smenu [inlmath]2^x=t[/inlmath] i dobio:
[dispmath]\frac{-t^2+4t+4}{\left(t^2+3\right)(4t-1)}\ge0[/dispmath]
Video sam da je kvadratna funkcija u brojiocu uvek negativna,osim za [inlmath]t=2[/inlmath].
A donji izraz zavisi samo od [inlmath]4t-1[/inlmath] jer je [inlmath]t^2+3[/inlmath] uvek pozitivmo. Međutim, ja ovakve racionalne jednačine rešavam crtanjem "grafika", tj. recimo rešim [inlmath]-z^2+4t+4\ge0[/inlmath], ali ja sam to pomnožio sa [inlmath]-1[/inlmath]. E sad [inlmath]x^2-4x-4\ge0[/inlmath] je uvek pozitivna, osim takođe za [inlmath]t=2[/inlmath]. I to me navelo da napišem da je [inlmath]4t-1\ge0[/inlmath], a ako se data nejednačina ne pomnoži sa minus jedan, dobijamo kako treba tj. [inlmath]4t-1\le0[/inlmath], jer da bi ceo razlomak bio pozitivan, a znamo da je brojilac uvek negativan, onda mora i imemilac biti negativan. Dakle, zašto je ovde greška pomnožiti onu nejednačinu? Izvinite ako je nerazumno pitanje.

Ispravka, hteo sam da napišem [inlmath]4t-1>0[/inlmath] tj. [inlmath]4t-1<0[/inlmath] jer [inlmath]x[/inlmath] ne sme nikako biti [inlmath]-2[/inlmath].

Ovako, prvo, nejednačina koja se dobije trebalo bi da glasi
[dispmath]\frac{-t^2+4t{\color{red}-}4}{\left(t^2+3\right)(4t-1)}\ge0[/dispmath]
što pretpostavljam da je bila greška u kucanju.

Naravno da nije nikakva greška pomnožiti nejednačinu sa [inlmath]-1[/inlmath], ali ti to nisi uradio kako treba. Kad se nejednačina množi negativnim brojem, onda dolazi do promene smera znaka nejednakosti. Znači, bilo bi
[dispmath]-\frac{-t^2+4t-4}{\left(t^2+3\right)\left(4t-1\right)}{\color{red}\le}0\\
\frac{t^2-4t+4}{\left(t^2+3\right)\left(4t-1\right)}\le0\\
\frac{\left(t-2\right)^2}{\left(t^2+3\right)\left(4t-1\right)}\le0[/dispmath]
Dakle, kao što si i sâm zaključio, [inlmath]t^2+3[/inlmath] je uvek strogo veće od nule, pa njega možemo izuzeti iz razmatranja,
[dispmath]\frac{\left(t-2\right)^2}{4t-1}\le0[/dispmath]
i onda se to dalje grana:
[dispmath]\left[\cancelto{\top}{\left(t-2\right)^2\ge0}\;\land\;4t-1<0\right]\quad\lor\quad\left[\left(t-2\right)^2\le0\;\land\;4t-1>0\right]\\
4t-1<0\quad\lor\quad\left\{\left[\cancelto{\bot}{\left(t-2\right)^2<0}\;\lor\;\left(t-2\right)^2=0\right]\;\land\;4t-1>0\right\}\\
4t-1<0\quad\lor\quad\left[\left(t-2\right)^2=0\;\land\;4t-1>0\right]\\
\cdots\\
t<\frac{1}{4}\quad\lor\quad t=2\\
x<-2\quad\lor\quad x=1[/dispmath]

Daniel je napisao:Ovako, prvo, nejednačina koja se dobije trebalo bi da glasi
[dispmath]\frac{-t^2+4t{\color{red}-}4}{\left(t^2+3\right)(4t-1)}\ge0[/dispmath]
što pretpostavljam da je bila greška u kucanju.

Da, jeste.

A nejednačinu [inlmath]\frac{-t^2+4t-4}{\left(t^2+3\right)(4t-1)}\ge0[/inlmath] tj. [inlmath]\frac{-t^2+4t-4}{4t-1}[/inlmath] rešio bih ovako.
Sa slike se vidi da je [inlmath]t<\frac{1}{4}[/inlmath] i da je [inlmath]t=2[/inlmath] kada je vrednost te nejednačine [inlmath]0[/inlmath].
Izvinite ako sam prekršio neko pravilo. Možda je trebalo da hostujem sliku na neki server.

Ne, bolje što si je uploadovao na forum. Jedino si mogao da je malo smanjiš (bila je nepotrebno velika) i da je malo bolje komprimuješ. OK, učinio sam to. I s ovako smanjene slike može sve sasvim lepo da se pročita.

Da, u redu je i taj grafički način na koji si ti radio.