MATEMANIJA

Odrediti skup vrednosti parametra [inlmath]m[/inlmath] za koje su rešenja jednačine veća od [inlmath]1[/inlmath]:
[dispmath]x^2+(m-4)\cdot x+4=0[/dispmath]
Rešenje je [inlmath](-1,0][/inlmath]
Može li samo mala pomoć oko rešavanja, samo koji uslovi? [inlmath]D>0[/inlmath], i vijetove formule veće od nule, ali mora da postoji još nešto? Možda teme?

Ima tu malo vise uslova. Da neki proizvoljan broj [inlmath]\alpha[/inlmath] ne pripada intervalu realnih korena, neophodno je sledece :
[inlmath]a\alpha^2+b\alpha+c>0[/inlmath] i [inlmath]a>0[/inlmath]. E dalje, da bi koreni bili veci od jedan, neophodno je da se jedinica nalazi sa leve strane tog intervala, tj. [inlmath]1<-\frac{b}{2a}[/inlmath]. I na kraju, da bi osigurali da su koreni date jednacine realni,neophodno je da [inlmath]D\ge 0[/inlmath].

[inlmath]x_1>1\\
x_2>1[/inlmath]

[inlmath]x_1+x_2>2\\
x_1\cdot x_2>1[/inlmath]

@Miladin, svi uslovi koje si naveo ispunjeni su u ovakvom slučaju:


ali ipak nisu oba rešenja veća od jedinice. Prema tome, nešto tu ipak fali.

@Dzenan, evo ti kontraprimer:
[dispmath]x_{1,2}=3\pm\sqrt 5[/dispmath]
Zbir ovih rešenja je veći od [inlmath]2[/inlmath], a njihov proizvod je veći od [inlmath]1[/inlmath], znači, ispunjavaju uslove koje si napisao. Pa, ipak, manje rešenje, [inlmath]3-\sqrt 5[/inlmath], nije veće od [inlmath]1[/inlmath]. Znači, uslovi koje si napisao ne osiguravaju to da su oba rešenja veća od jedinice.

---

Pošto se kaže da rešenja treba da budu veća od [inlmath]1[/inlmath], podrazumeva se da rešenja treba da budu realna, jer u kompleksnom domenu „veće od [inlmath]1[/inlmath]“ ne bi imalo smisao. Pri tome, dopušteno je da rešenje bude i jedno dvostruko, pri čemu ono mora biti veće od [inlmath]1[/inlmath]. Znači, diskriminanta treba da bude veća od nule, ali sme da bude i jednaka nuli: [inlmath]D\ge 0[/inlmath].

Zatim, neophodno je da ono rešenje koje ima manju vrednost, a to je [inlmath]\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/inlmath], bude veće od [inlmath]1[/inlmath] (čim je manje rešenje veće od [inlmath]1[/inlmath], automatski je tada i veće rešenje veće od [inlmath]1[/inlmath]):
[dispmath]\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}>1[/dispmath][dispmath]\frac{4-m-\sqrt{\left(m-4\right)^2-16}}{2}>1[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath]
odakle se dobije [inlmath]m\in\left(-1,0\right][/inlmath].

@Daniel
Hvala na pomoći, to je to, video sam da u gornjim rešenjima nešto ne štima, pa sam sačekao da još neko odgovori.
Hvala još jednom.

Ja i sa ovim uslovima dobijam resenje kako treba. Imamo [inlmath]m>-1[/inlmath], [inlmath]m<2[/inlmath] i [inlmath]m\in (-\infty,0]\cup [8,+\infty)[/inlmath] Presek valjda daje resenje. Ali to je onda puka slucajnost. Ako ti nije problem, koji uslov mi nedostaje ili gde gresim?

Da, njihov presek daje tačno rešenje. Ali, nisam baš shvatio na koji način si došao do uslova [inlmath]m>-1[/inlmath].
Jasno mi je da si do uslova [inlmath]m<2[/inlmath] došao iz [inlmath]1<-\frac{b}{2a}[/inlmath], kao i da si do uslova [inlmath]m\in\left(-\infty,0\right]\cup\left[8,+\infty\right)[/inlmath] došao iz [inlmath]D\ge 0[/inlmath].

Daniel je napisao:Da, njihov presek daje tačno rešenje. Ali, nisam baš shvatio na koji način si došao do uslova [inlmath]m>-1[/inlmath]

Pa iz činjenice da je ovde
[inlmath]\alpha=1[/inlmath]. I to sam zamenio u uslov koji sam prvo napisao [inlmath]a\alpha^2+b\alpha+c>0[/inlmath].

Aha, sad shvatam tvoj postupak, izvini zbog nesporazuma. Da, može se onda raditi i na taj način koji si predložio.
Onom skicom grafika koju sam pokazao nisam obuhvatio i taj prvi uslov koji si postavio – da jedinica ne pripada intervalu ograničenom rešenjima – zato što taj uslov nisam bio razumeo. Sorry još jednom zbog zabune.

Nema na čemu da se izvinjavaš I onako je tvoj postupak lakši i razumljiviji. Ja sam ovaj način video u jednoj zbirci.

Miladin Jovic je napisao:Ima tu malo vise uslova. Da neki proizvoljan broj [inlmath]\alpha[/inlmath] ne pripada intervalu realnih korena, neophodno je sledece :
[inlmath]a\alpha^2+b\alpha+c>0[/inlmath] i [inlmath]a>0[/inlmath].

Miladine aj ako ti nije problem da malo detaljnije objasnis ovaj uslov mada meni nije jasan ima li kakav dokaz za njega ili neko objasnjenje iz koje si zbirke nasao ovo rjesenje??

Nadam se da mi Miladin neće zameriti što bih, u njegovom odsustvu, ja pokušao da dam odgovor, a on me može, po potrebi, naknadno dopuniti.

Citirani uslov obezbeđuje da se neki broj [inlmath]\alpha[/inlmath] nalazi izvan intervala [inlmath]\left[x_1,x_2\right][/inlmath], gde [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] označavaju realne korene kvadratne funkcije [inlmath]ax^2+bx+c[/inlmath], gde je [inlmath]a>0[/inlmath], kao u zadatom primeru. Ovo [inlmath]a>0[/inlmath] je vrlo bitno, jer tada grafik funkcije ima teme okrenuto prema dole, kao na slici,


to jest, uz prethodno postavljen uslov da je diskriminanta veća od nule, funkcija za sve vrednosti koje se nalaze u intervalu van [inlmath]\left[x_1,x_2\right][/inlmath] (kao [inlmath]\alpha[/inlmath] i [inlmath]\gamma[/inlmath] na slici) ima pozitivnu vrednost, dok za sve vrednosti unutar intervala [inlmath]\left[x_1,x_2\right][/inlmath] (kao [inlmath]\beta[/inlmath] na slici) ima negativnu vrednost. Znači,
[dispmath]\alpha,\gamma\notin\left[x_1,x_2\right],\quad\beta\in\left(x_1,x_2\right)\\
\Rightarrow\quad f\left(\alpha\right)=a\alpha^2+b\alpha+c>0,\quad f\left(\beta\right)=a\beta^2+b\beta+c<0,\quad f\left(\gamma\right)=a\gamma^2+b\gamma+c>0[/dispmath]
E sad, Miladin je ovaj uslov primenio na jedinicu, koja treba da bude izvan intervala [inlmath]\left[x_1,x_2\right][/inlmath]. Treba da bude izvan tog intervala, jer je rečeno da su oba rešenja veća od jedinice. A čim je jedinica izvan intervala, znači da [inlmath]f\left(1\right)=a\cdot 1^2+b\cdot 1+c=a+b+c[/inlmath], prema prethodno prikazanom rezonu, mora biti pozitivno.
Pošto kvadratna jednačina glasi [inlmath]x^2+(m-4)\cdot x+4=0[/inlmath], odatle je:
[dispmath]a=1;\quad b=m-4;\quad c=4[/dispmath]
pa se malopre postavljen uslov [inlmath]a+b+c>0[/inlmath] svodi na [inlmath]1+m-\cancel 4+\cancel 4>0[/inlmath], tj. na [inlmath]m>-1[/inlmath].

To je, dakle, uslov da se jedinica nalazi izvan intervala [inlmath]\left[x_1,x_2\right][/inlmath]. A da bi se jedinica nalazila levo od tog intervala, tj. da su oba rešenja kvadratne jednačine veća od [inlmath]1[/inlmath], to se obezbeđuje dodatnim uslovom da je [inlmath]x[/inlmath]-koordinata temena kvadratne funkcije veća od [inlmath]1[/inlmath], tj. [inlmath]-\frac{b}{2a}>1[/inlmath].

Tek sam sada ovo detaljno pregledao i jasno mi je.. Hvala Daniele!