MATEMANIJA

Jos ova dva zadatka, i to je to od mene, ne smaram vas vise

1. Ako je [inlmath]x=\cos\alpha\cos\beta,\;y=\sin\alpha\sin\beta[/inlmath], onda je maksimalna vrednost izraza [inlmath]x^2+y^2[/inlmath] jednaka?

Pokusam da preko Vijetovih formula [inlmath]x^2+y^2[/inlmath] izrazim kao [inlmath](x+y)^2 -2xy[/inlmath], i onda samo zamenim i uradim izvod. No, dobijem [inlmath]1,5[/inlmath], a resenje je [inlmath]1[/inlmath].

I drugi je slican:

Dat je sistem jednacina [inlmath]x+y=2a+1,\;xy=a^2+4a-0,5[/inlmath], gde je [inlmath]a[/inlmath] realan parametar. Ako su resenja [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] ovog sistema realni brojevi, onda izraz [inlmath]x^2+y^2[/inlmath] dostize najamnju vrednost za?

Probao sam na slican nacin kao prethodni, ali ne ide. Resenje je [inlmath]0,25[/inlmath]

Prvi:
[dispmath]x^2+y^2=\cos^2\alpha\cos^2\beta+\sin^2\alpha\sin^2\beta=\cos^2\alpha\cos^2\beta+\left(1-\cos^2\alpha\right)\left(1-\cos^2\beta\right)=[/dispmath]
Uvodimo smene [inlmath]\cos^2\alpha=a,\;\cos^2\beta=b,\;a,b\in\left[0,1\right][/inlmath]
[dispmath]=ab+\left(1-a\right)\left(1-b\right)=\cdots =a\left(b-1\right)+b\left(a-1\right)+1[/dispmath]
Pošto je [inlmath]a\in\left[0,1\right][/inlmath] i [inlmath]b\in\left[0,1\right][/inlmath], biće i [inlmath]a-1\in\left[-1,0\right][/inlmath] i [inlmath]b-1\in\left[-1,0\right][/inlmath], što znači da će sabirci [inlmath]a\left(b-1\right)[/inlmath] i [inlmath]b\left(a-1\right)[/inlmath] biti uvek negativni ili nula. Prema tome, zbir [inlmath]a\left(b-1\right)+b\left(a-1\right)+1[/inlmath] biće maksimalan onda kada su sabirci [inlmath]a\left(b-1\right)[/inlmath] i [inlmath]b\left(a-1\right)[/inlmath] jednaki nulama i ta maksimalna vrednost zbira biće [inlmath]0+0+1[/inlmath], tj. [inlmath]1[/inlmath].

U drugom je rešenje [inlmath]a=1[/inlmath].

Hvala

U drugom i ja dobijem [inlmath]1[/inlmath], ali u zbirci stoji da je resenje [inlmath]\frac{1}{4}[/inlmath], sa sve postupkom kojim su radili i nacrtanim grafikom :/

I, uočavaš li grešku u tom njihovom postupku?

Bi li nam pokazao na koji su to način oni radili i dobili [inlmath]\frac{1}{4}[/inlmath]?

Kasnim 3 godine, al' bolje ikad nego nikad.

Dat je sistem jednacina [inlmath]x+y=2a+1,\;xy=a^2+4a-0,5[/inlmath], gde je [inlmath]a[/inlmath] realan parametar. Ako su resenja [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] ovog sistema realni brojevi, onda izraz [inlmath]x^2+y^2[/inlmath] dostize najmanju vrednost za?

Pretpostavljam da je pitanje za koju vrednost realnog parametra [inlmath]a[/inlmath].
Kada kvadriramo prvu jednakost i drugu pomnožimo sa [inlmath]2[/inlmath] dobićemo:
[dispmath]x^2+2xy+y^2=4a^2+4a+1 \\
2xy=2a^2+8a-1[/dispmath]
Kada oduzmemo drugu od prve dobićemo izraz za koji se traži minimalna vrednost:
[dispmath]x^2+y^2=2a^2-4a+2=2(a^2-2a+1)=2(a-1)^2[/dispmath]
Dakle: [inlmath]x^2+y^2=2(a-1)^2[/inlmath]. Odavde se vidi da se minimalna vrednost ovog izraza dostiže za [inlmath]a=1[/inlmath]. Ali treba pažljivo pročitati zadatak gde piše:

Ako su resenja [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] ovog sistema realni brojevi...

Ako bismo uvrstitili [inlmath]a=1[/inlmath] videli bismo da sistem onda ne bi imao realna rešenja. Trebalo je u startu postaviti neki uslov. Ako bismo izrazili [inlmath]y[/inlmath] iz ovog sistema dobili bismo:
Iz prve jednakosti [inlmath]x=2a+1-y[/inlmath] i uvrštavanjem u drugu:
[dispmath](2a+1-y)y=a^2+4a-0,5 \\
-y^2+y(2a+1)-(a^2+4a-0,5)=0[/dispmath]
Odavde izračunamo [inlmath]y[/inlmath]:
[dispmath]y_{1/2}=\frac{-(2a+1)\pm \sqrt{(2a+1)^2-4\cdot (a^2+4a-0,5)}}{-2} \\
y_{1/2}=\frac{-(2a+1)\pm \sqrt{4a^2+4a+1-4a^2-16a-2)}}{-2} \\
y_{1/2}=\frac{-(2a+1)\pm \sqrt{3-12a}}{-2}[/dispmath]
Sada posmatramo samo diskriminantu [inlmath]D=3-12a[/inlmath] (slično se dobija i za [inlmath]x[/inlmath]). Dakle, da bi [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] bili realni brojevi potrebno je da diskriminanta bude veća od nule ili jednaka nuli tj. [inlmath]D\ge 0 \Rightarrow 3-12a\ge 0[/inlmath] odakle se dobija ograničenje:
[dispmath]a\le \frac{1}{4}[/dispmath]
Sada kada pogledamo izraz [inlmath]x^2+y^2=2(a-1)^2[/inlmath], jasno je da se najmanja vrednost izraza dostiže za [inlmath]a=\frac{1}{4}[/inlmath].
Vrlo "podmukao" zadatak.

P. S. Moguće da sam pogrešio, sumnjam da je Daniel ovo propustio.

Corba248 je napisao:P. S. Moguće da sam pogrešio, sumnjam da je Daniel ovo propustio.

Nikako ne bi bilo dobro da kad god ja nešto previdim, kao što je ovde bio slučaj, ostali koji dobiju tačno rešenje posumnjaju u njegovu tačnost jer se ne poklapa s mojim.
Hvala što si priložio ovo rešenje, koje je, naravno, tačno.