MATEMANIJA

U pitanju je kvadratna funkcija kod koje treba odrediti parametar [inlmath]k[/inlmath].

Odrediti sve vrijednosti realnog parametra [inlmath]k[/inlmath] tako da jednacina [inlmath]kx^2-2(k+2)x+2k+1=0[/inlmath] ima dva realna i razlicita rjesenja koja pripadaju intervalu [inlmath](0,5)[/inlmath]

Za realna i razlicita rjesenja znam da [inlmath]D>0[/inlmath] ali ovo za interval me zbunjuje,meni sto pada na pamet je da izrazunam [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] pa onda postavim uslove i [inlmath]x_1>0[/inlmath] i [inlmath]x_1<5[/inlmath] pa nadjem presjek rjesenja pa tako i za [inlmath]x_2[/inlmath] pa na karju nadjem presjek toga svega. Mada ovo je dugo rjesenje a i komplikovano je. Sigurno postoji neki jednostavnije nacin za predstavljanje ovoga intervala. Ja sam probavao preko vijetovih formula i kako god okrenem ne mogu predstaviti taj interval.

Imaš ovde sličan zadatak, možda ti može pomoći.

Mozda Jasno mi je ono sto je Daniel radio a to da ovde radim bilo bi suludo. A ovaj tvoj nacin je dosta brzi ali mi nije jasan.

Da neki proizvoljan broj [inlmath]\alpha[/inlmath] ne pripada intervalu realnih korena, neophodno je sledece : [inlmath]a\alpha^2+b\alpha+c>0[/inlmath] i [inlmath]a>0[/inlmath] Ovo je slucaj kada je funkcija pozitivna za svako [inlmath]x[/inlmath] jer je i [inlmath]a>0[/inlmath] i [inlmath]D<0[/inlmath]. Ali ponovo ove mi nije nista jasno kakve veze ovo ima sa zadatkom? Kako odtud ova formula? Iz koje si zbirke nasao ovo rjesenje? Ako mozes malo to da pojasnis sigurno ima neki fazon slican tvom da se i ovaj moj zadatak uradi.

Iako ovaj zadatak ima sličnosti s tim na koji je Miladin linkovao, ima i neke bitne razlike, budući da se tamo tražilo da rešenja budu veća od neke vrednosti, a ovde se traži da budu unutar određenog intervala. Dodatno komplikuje i to što smo tamo uz kvadratni član imali koeficijent [inlmath]1[/inlmath], dok ovde imamo [inlmath]k[/inlmath] koje može biti i veće i manje od nule (ne može biti nula jer tada jednačina ne bi imala dva rešenja), tako da bi zbog toga, primenjujući postupak sličan kao na tom linku, trebalo posebno razmatrati svaku od te dve mogućnosti.

Evo jednog načina na koji bi se ovo još moglo rešiti, pored onog standardnog:


– Pre svega, pošto postoje dva realna i različita rešenja, diskriminanta mora biti strogo veća od nule: [inlmath]D>0[/inlmath]
– Iz uslova da su oba rešenja u intervalu [inlmath]\left(0,5\right)[/inlmath], sledi da i [inlmath]x[/inlmath]-koordinata temena kvadratne funkcije takođe mora biti u tom intervalu: [inlmath]0<-\frac{b}{2a}<5[/inlmath].
– Pošto su oba rešenja unutar intervala [inlmath]\left(0,5\right)[/inlmath] sledi da će i [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]5[/inlmath] biti van intervala ćije su granice nule kvadratne funkcije, što znači da će [inlmath]f\left(0\right)[/inlmath] i [inlmath]f\left(5\right)[/inlmath] biti istog znaka: [inlmath]f\left(0\right)f\left(5\right)>0[/inlmath] (ovo važi i za [inlmath]k<0[/inlmath] i za [inlmath]k>0[/inlmath])
– Takođe, pošto je [inlmath]x[/inlmath]-koordinata temena kvadratne funkcije unutar intervala ograničenog nulama te kvadratne funkcije, [inlmath]y[/inlmath]-koordinata temena će biti suprotnog znaka u odnosu na vrednost funkcije u tačkama [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]5[/inlmath]: [inlmath]f\left(0\right)\cdot\frac{-D}{4a}<0[/inlmath] (mogli smo, naravno, umesto toga napisati i [inlmath]f\left(0\right)\cdot\frac{-D}{4a}<0[/inlmath] budući da već imamo uslov da su [inlmath]f\left(0\right)[/inlmath] i [inlmath]f\left(5\right)[/inlmath] istog znaka.) Pošto je, prema jednom od prethodnog uslova, [inlmath]D>0[/inlmath], ovaj uslov se svodi na [inlmath]af\left(0\right)>0[/inlmath], tj. na [inlmath]kf\left(0\right)>0[/inlmath].

I onda tražiš presek ova četiri uslova...

---

Sva pitanja u vezi s Miladinovim zadatkom, molim te, postavi u toj temi, kako bismo održavali preglednost.

Ali, nije preterano komplikovano ni standardno rešenje koje si predložio. Jedino što je nepotrebno da za svako od rešenja kvadratne jednačine postavljaš uslov i da je [inlmath]>0[/inlmath] i da je [inlmath]<5[/inlmath]. Dovoljno je da uočiš koje od dva rešenja je manje a koje je veće, pa za ono manje postaviš uslov da je [inlmath]>0[/inlmath], a za ono veće da je [inlmath]<5[/inlmath]. To prilično skraćuje postupak.

Naravno, osnovni uslov je pozitivnost diskriminante:
[dispmath]D=4\left(k+2\right)^2-4k\left(2k+1\right)=4\left(-k^2+3k+4\right)>0\quad\Rightarrow\quad -1\le k\le 4[/dispmath]
Napišemo formule za rešenje [inlmath]x_1[/inlmath] i za rešenje [inlmath]x_2[/inlmath]:
[dispmath]x_1=\frac{k+2-\sqrt{-k^2+3k+4}}{k}\quad\land\quad x_2=\frac{k+2+\sqrt{-k^2+3k+4}}{k}[/dispmath]
E sad moraš da razložiš na dva slučaja, jer, koje će rešenje biti manje a koje veće, zavisi od toga da li je [inlmath]k[/inlmath] pozitivno ili negativno (kao što rekoh, [inlmath]k[/inlmath] ne može biti nula, pa taj slučaj i ne razmatramo).

[inlmath]I[/inlmath] slučaj: [inlmath]k>0\quad\Rightarrow\quad x_1<x_2\quad\Rightarrow\quad x_1>0\;\land\;x_2<5[/inlmath]
[dispmath]\frac{k+2-\sqrt{-k^2+3k+4}}{k}>0\quad\land\quad\frac{k+2+\sqrt{-k^2+3k+4}}{k}<5[/dispmath]
Pošto je [inlmath]k>0[/inlmath], množenjem obe strane obe jednačine ne menja se smer znaka nejednakosti:
[dispmath]k+2-\sqrt{-k^2+3k+4}>0\quad\land\quad k+2+\sqrt{-k^2+3k+4}<5k[/dispmath][dispmath]k+2>\sqrt{-k^2+3k+4}\quad\land\quad\sqrt{-k^2+3k+4}<4k-2[/dispmath]
Kvadriranjem, uz uslov da ono što je veće od kvadratnog korena mora automatski biti i veće od nule,
[dispmath]k+2>0\quad\land\quad k^2+4k+\cancel 4>-k^2+3k+\cancel 4\quad\land\quad 4k-2>0\quad\land\quad -k^2+3k+\cancel 4<16k^2-16k+\cancel 4[/dispmath][dispmath]k>-2\quad\land\quad 2k^2+k>0\quad\land\quad k>\frac{1}{2}\quad\land\quad 17k^2-19k>0[/dispmath][dispmath]k>\frac{1}{2}\quad\land\quad k\left(2k+1\right)>0\quad\land\quad k\left(17k-19\right)>0[/dispmath]
Pošto je [inlmath]k>0[/inlmath],
[dispmath]k>\frac{1}{2}\quad\land\quad 2k+1>0\quad\land\quad 17k-19>0[/dispmath][dispmath]k>\frac{1}{2}\quad\land\quad k>-\frac{1}{2}\quad\land\quad k>\frac{19}{17}[/dispmath]
Presek ovih rešenja, zajedno s uslovom pozitivnosti diskriminante, bio bi:
[dispmath]\underline{\frac{19}{17}<k<4}[/dispmath]

[inlmath]II[/inlmath] slučaj: [inlmath]k<0\quad\Rightarrow\quad x_2<x_1\quad\Rightarrow\quad x_2>0\;\land\;x_1<5[/inlmath]
[dispmath]\frac{k+2+\sqrt{-k^2+3k+4}}{k}>0\quad\land\quad\frac{k+2-\sqrt{-k^2+3k+4}}{k}<5[/dispmath]
Pošto je sada [inlmath]k<0[/inlmath], množenjem obe strane obe jednačine menja se smer znaka nejednakosti:
[dispmath]k+2+\sqrt{-k^2+3k+4}<0\quad\land\quad k+2-\sqrt{-k^2+3k+4}>5k[/dispmath][dispmath]\sqrt{-k^2+3k+4}<-k-2\quad\land\quad -4k+2>\sqrt{-k^2+3k+4}[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath]
Analogno se dalje radi kao i kod [inlmath]I[/inlmath] slučaja, s tom razlikom što je sada [inlmath]k<0[/inlmath]. Za ovaj slučaj će se dobiti da nema rešenja, tako da je onaj skup rešenja dobijen za [inlmath]I[/inlmath] slučaj ujedno i skup rešenja celog zadatka.

Ja sam mislio da ce ovo standardno biti komplikovanije..Poprilicno mi je jasno sad cu da ga ja probam ponovo sam uraditi.A kod prvog nacina za tjema i diskriminantu mi je jasno 100% ali ovo me malo zbunjuje [inlmath]af(0)[/inlmath] i [inlmath]kf(5)[/inlmath].Ako mozes malo da pojasnis ta drugla dva uslova kako se to svodi na ova dva uslova koja sam ja napisao tj sta znaci [inlmath]af(0)[/inlmath] i [inlmath]kf(5)[/inlmath].Jasno mi je kada nema [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]k[/inlmath] to je onda samo funkcija od toga broja u zagradi..

Zapravo, to [inlmath]a[/inlmath] koje sam napisao je koeficijent uz kvadratni član u onom obliku kvadratne jednačine koji često koristimo, [inlmath]ax^2+bx+c=0[/inlmath]. Dakle, u konkretnom primeru, koji glasi [inlmath]kx^2-2\left(k+2\right)x+2k+1=0[/inlmath]:

[inlmath]a=k[/inlmath] – koeficijent uz kvadratni član;
[inlmath]b=-2\left(k+2\right)[/inlmath] – koeficijent uz linearni član;
[inlmath]c=2k+1[/inlmath] – koeficijent uz slobodni član.

Znači, kao četvrti uslov sam postavio da su [inlmath]f\left(0\right)[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]-koordinata temena suprotnog znaka. Formula za [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu temena je [inlmath]y_T=\frac{4ac-b^2}{4a}[/inlmath], gde su [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] odgovarajući koeficijenti kvadratne jednačine kao što je malopre pokazano, a pošto je [inlmath]b^2-4ac=D[/inlmath], formula za [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu temena može se napisati i kao [inlmath]y_T=-\frac{b^2-4ac}{4a}[/inlmath], tj. kao [inlmath]y_T=-\frac{D}{4a}[/inlmath].
E, pošto sad imamo uslov da su [inlmath]f\left(0\right)[/inlmath] i [inlmath]y_T[/inlmath] suprotnog znaka, to pišemo kao [inlmath]f\left(0\right)\cdot y_T<0[/inlmath], pa je to onda isto što i [inlmath]f\left(0\right)\cdot\frac{-D}{4a}<0[/inlmath], pa kad to pomnožimo sa [inlmath]-4[/inlmath] menja se znak nejednakosti i nejednačina postaje [inlmath]f\left(0\right)\cdot\frac{D}{a}>0[/inlmath]. Pošto znamo da je, prema ranije postavljenom uslovu, [inlmath]D>0[/inlmath], možemo obe strane nejednačine podeliti sa [inlmath]D[/inlmath], pri čemu ne dolazi do promene smera nejednakosti: [inlmath]\frac{f\left(0\right)}{a}>0[/inlmath], a ova nejednačina se može napisati i kao [inlmath]a\cdot f\left(0\right)>0[/inlmath] (jer, ako je količnik dva broja pozitivan, to znači da su ta dva broja istog predznaka, pa će biti pozitivan i njihov proizvod). Pošto [inlmath]a[/inlmath] predstavlja koeficijent uz kvadratni član, a u našoj jednačini koeficijent uz kvadratni član iznosi [inlmath]k[/inlmath], znači da je [inlmath]a=k[/inlmath], pa se ovaj uslov svodi na [inlmath]k\cdot f\left(0\right)>0[/inlmath].

Svaka cast Daniele.Meni ovo nikada ne bi palo na pamet.Ja sam vec prije nego sto sam otvorio temu pokusavao preko standardnog nacina ali sam se i tu zapetljao. Shvatio sam i ovaj cetvrti uslov. I rjesio sam zadatak i rjeseje se poklapa.

Super

Evo, da još malo to povežemo. Možemo se uveriti da smo ispravno došli do uslova [inlmath]k\cdot f\left(0\right)>0[/inlmath] ako razmišljamo na sledeći način: ako je koeficijent uz kvadratni član pozitivan, tj. [inlmath]k>0[/inlmath], tada funkcija ima teme prema dole, a pošto je diskriminanta prema prethodnom uslovu pozitivna, grafik funkcije preseca [inlmath]x[/inlmath]-osu, što znači da će teme biti ispod [inlmath]x[/inlmath]-ose, tj. [inlmath]y[/inlmath]-koordinata temena će biti negativna; a ako je koeficijent uz kvadratni član negativan, tj. [inlmath]k<0[/inlmath], tada funkcija ima teme prema gore, a pošto je diskriminanta pozitivna, grafik funkcije preseca [inlmath]x[/inlmath]-osu, što znači da će teme biti iznad [inlmath]x[/inlmath]-ose, tj. [inlmath]y[/inlmath]-koordinata temena će biti pozitivna. Odavde vidimo da će [inlmath]y[/inlmath]-koordinata temena i koeficijent uz kvadratni član [inlmath]k[/inlmath] uvek biti suprotnog znaka. A pošto [inlmath]y[/inlmath]-koordinata temena i vrednost funkcije u tački [inlmath]0[/inlmath] moraju biti suprotnog znaka, to znači da će koeficijent uz kvadratni član [inlmath]k[/inlmath] i vrednost funkcije u tački [inlmath]0[/inlmath] biti istog znaka, tj. [inlmath]k\cdot f\left(0\right)>0[/inlmath], što i jeste uslov do kojeg smo, istina na drugi način, došli.

Eto, mislim da je ovime priča zaokružena i da se ovime vidi koliko je to sve fino povezano.