MATEMANIJA

Pozdrav, hitno mi treba ovaj zadatak.. ne znam ni kako poceti, pa ako ikako mozete da mi pomognete..
Naci [inlmath]x[/inlmath] u razvijenom obliku binoma [dispmath]\left(2^{2\log_3x}+5^{\log_3x}\right)^m[/dispmath] ako je [inlmath]m[/inlmath] rjesenje jednacine [inlmath]10^{\log(2+3+4+\cdots +m)}=\frac{5}{2}m-1[/inlmath], a kvadratni korijen treceg clana razvoja jednak je [inlmath]400\sqrt{6}[/inlmath].

Molim, ako može ubuduće bez tog hitno... Nemoj ostavljati svoje obaveze za poslednji trenutak, pa ti neće biti ni hitno...

Prvo iz jednačine [inlmath]10^{\log(2+3+4+\cdots +m)}=\frac{5}{2}m-1[/inlmath] odrediš koliko je [inlmath]m[/inlmath], koristeći osobinu da je [inlmath]a^{\log_ab}=b[/inlmath], kao i formulu za sumu aritmetičkog niza.

Zatim napišeš kako glasi treći član razvoja binoma, znajući koliko je [inlmath]m[/inlmath] i koristeći formulu za razvoj
[dispmath]\left(a+b\right)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}a^{n-k}b^k[/dispmath]
i dobićeš jednačinu po [inlmath]x[/inlmath]...

Ne znam kako odrediti koliko je [inlmath]m[/inlmath], koju formulu za sumu aritmetickog niza. Da li mozda ovu: [inlmath]S=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)[/inlmath], ali sta da uvrstim u tu formulu, [inlmath]d=1[/inlmath], [inlmath]a_1=2[/inlmath], a [inlmath]n[/inlmath] je [inlmath]m[/inlmath], a sta sa [inlmath]S[/inlmath]? hvala

Pre svega iskoristi: [inlmath]10^{\log x}=x[/inlmath]

Onda imaš sledeće:
[dispmath]2+3+4+\cdots +m=\frac{5m}{2}-1[/dispmath]
Ovaj niz s leve strane ima početni član [inlmath]a_1=2[/inlmath], razlika je [inlmath]d=1[/inlmath], a broj članova niza [inlmath]m-1[/inlmath], pa je cela suma otuda:
[dispmath]S=\frac{m-1}{2}\cdot\left(4+(m-2)\right)=\frac{(m-1)(m+2)}{2}[/dispmath]
Dalje imaš jednačinu:
[dispmath]\frac{(m-1)(m+2)}{2}=\frac{5m}{2}-1[/dispmath]
Odatle lako odrediš [inlmath]m[/inlmath].

Dobila sam da je [inlmath]m=0[/inlmath], i da je [inlmath]m=4[/inlmath].. Uzimam je li tako da je [inlmath]m=4[/inlmath], mada nigdje ne pise da [inlmath]m[/inlmath] mora biti prirodan broj.. i sta trebam sad dalje..ako moze samo pocetak.. i hvala za sve

Ja dobijem [inlmath]2^{4\log_3x}\cdot 5^{2\log_3x}=160000[/inlmath].. I onda ne znam dalje :S

indira-aa je napisao:mada nigdje ne pise da [inlmath]m[/inlmath] mora biti prirodan broj..

Da [inlmath]m[/inlmath] mora biti prirodan broj vidi se iz date jednačine [inlmath]10^{\log(2+3+4+\cdots +m)}=\frac{5}{2}m-1[/inlmath], tačnije iz aritmetičkog niza [inlmath]2+3+4+\cdots +m[/inlmath].

indira-aa je napisao:Ja dobijem [inlmath]2^{4\log_3x}\cdot 5^{2\log_3x}=160000[/inlmath].. I onda ne znam dalje :S

Tu sad, pre svega, možeš da korenuješ obe strane, pa dobiješ
[dispmath]2^{2\log_3x}\cdot 5^{\log_3x}=400[/dispmath]
ali nije bilo potrebe ni doći do ove kvadrirane jednačine. Iz uslova da je kvadratni koren trećeg člana razvoja jednak [inlmath]400\sqrt{6}[/inlmath], pišemo jednačinu
[dispmath]\sqrt{{4\choose 2}\left(2^{2\log_3x}\right)^{4-2}\left(5^{\log_3x}\right)^2}=400\sqrt 6[/dispmath][dispmath]\cancel{\sqrt 6}\cdot 2^{2\log_3x}\cdot 5^{\log_3x}=400\cancel{\sqrt 6}[/dispmath][dispmath]2^{2\log_3x}\cdot 5^{\log_3x}=400[/dispmath]
i to je isto to što si i ti dobila, samo nekvadrirano.
U daljem postupku primeni sledeća svojstva:
[dispmath]a^{bc}=\left(a^b\right)^c[/dispmath][dispmath]a^c\cdot b^c=\left(a\cdot b\right)^c[/dispmath][dispmath]a^b=a^c\;\left(a>0\;\land\;a\ne 1\right)\quad\Rightarrow\quad b=c[/dispmath]

Hvalaaaa
Je li se dobije da je [inlmath]x=9[/inlmath]?

Da.

Hvala Vam puno, bez Vas to nebi mogla rijesiti..pozdrav